기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
960 rpm으로 도는 0.75 kW 모터가 잇수 12개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 60개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 98%이다. 모터 축의 토크 T1을(를) 구하시오.
P = 0.75 kWn1 = 960 rpmN1 = 12N2 = 60η = 98%
T1 = N·m
2.기어와 기어열어려움
유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 18개, 각 유성 기어의 잇수는 30개이다. 유성 캐리어는 고정되어 있고 태양 기어는 1800 rpm으로 구동된다. 링 기어의 회전 속도 nr(크기)을(를) 구하시오.
Ns = 18Np = 30ns = 1800 rpm
nr = rpm
3.축의 비틀림보통
황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 200 N·md = 30 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 빈 축이 300 rpm에서 10 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
P = 10 kWN = 300 rpmdo = 75 mmdi = 53 mm
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 30 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 25° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.
σx = 30 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 50° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = −30 MPaσy = −30 MPaτxy = −30 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 25 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 20 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 200 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 80 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 1 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
150 kg 질량이 강성 200 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 5480 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
m = 150 kgk = 200 kN/mc = 5480 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
5 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 5 kN/m, k₂ = 5 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 5 kgk1 = 5 kN/mk2 = 5 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: T1 = 7.46 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
모터 토크
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/100.5 = 7.46 N·m
답
T1 = 7.46 N·m
2.기어와 기어열
답: nr = 415.4 rpm
유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.
링 기어 잇수
Nr = Ns + 2·Np = 18 + 2·30 = 78
캐리어 고정일 때의 윌리스 식
nc = 0이면 태양 기어가 아이들 기어 역할을 하는 유성 기어를 통해 링을 구동합니다.
nr = −ns·Ns/Nr = −1800·18/78 = −415.4 rpm
|nr| = 415.4 rpm
답
nr = 415.4 rpm
링은 태양 기어와 반대 방향으로 돕니다.
3.축의 비틀림
답: φ = 9.237 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(39000·79522) = 0.1612 rad
φ = 0.1612·180/π = 9.237°
답
φ = 9.237°
4.축의 비틀림
답: τmax = 5.119 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m
극관성 모멘트
J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴
최대 전단 응력
τmax = T·(do/2)/J = 318310·37.5/2.332 × 10⁶ = 5.119 MPa
답
τmax = 5.119 MPa
5.모어 원과 응력 변환
답: σy′ = 72.73 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
y′ 면의 변환 공식
σy′ = 70 − (−40)·0.6428 − 30·0.766 = 72.73 MPa
검산
수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.
σx′ = 67.27 MPa, σx′ + σy′ = 140 = σx + σy
답
σy′ = 72.73 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: σθ = −59.54 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = −30 + 0·−0.1736 + −30·0.9848 = −59.54 MPa
답
σθ = −59.54 MPa
7.축 응력과 변형률
답: ε = 254.6 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 25·1000/490.9 = 50.93 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 50.93/200000 = 0.0002546 = 254.6 µε
답
ε = 254.6 µε
8.축 응력과 변형률
답: σ2 = 90.77 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 120000·706.9/200 = 424115 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 80000·424115/528835 = 64158 N
응력
σ2 = 64158/706.9 = 90.77 MPa (압축)
답
σ2 = 90.77 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 2.242 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3500² = 2242 N = 2.242 kN
답
Pcr = 2.242 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 111 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133.3
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa
답
σcr = 111 MPa
11.기계 진동
답: ζ = 0.5003
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
임계 감쇠
cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·150) = 10954 N·s/m
감쇠비
ζ = c/cc = 5480/10954 = 0.5003
답
ζ = 0.5003
ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.
12.기계 진동
답: fn = 7.118 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 5 + 5 = 10 kN/m
고유 진동수
ωn = √(10000/5) = 44.72 rad/s
fn = 44.72/(2π) = 7.118 Hz
답
fn = 7.118 Hz
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