기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

960 rpm으로 도는 2.2 kW 모터가 잇수 40개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 48개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 97%이다. 모터 축의 토크 T₁을(를) 구하시오.

P = 2.2 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 40N₂ = 48η = 97%

T₁ = N·m

2.기어와 기어열어려움

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 16개, 각 유성 기어의 잇수는 18개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 1500 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 n_c을(를) 구하시오.

N_s = 16N_p = 18n_s = 1500 rpm

n_c = rpm

3.축의 비틀림보통

중공축이 토크 2000 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.75배로 하고, 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0.75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.축의 비틀림어려움

지름 25 mm인 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 2.5 m 떨어진 B에 토크 750 N·m이(가), 거기서 2 m 더 떨어진 자유단 C에 반대 방향의 토크 500 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 25 mmT_B = 750 N·mT_C = 500 N·mAB = 2.5 mBC = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 10 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = 0 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −50 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 30° 회전한 면의 전단 응력 τ_θ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σ_x = −50 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 85 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 25 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 50 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 15 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 15 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 12 kN/m인 스프링에 달린 25 kg 질량에 감쇠비 0.3을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk = 12 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

25 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 10 kN/m, k₂ = 25 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₁ = 21.88 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/100.5 = 21.88 N·m

답

T₁ = 21.88 N·m

2.기어와 기어열

답: n_c = 352.9 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·18 = 52

링 고정일 때의 윌리스 식

n_r = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(1500 − n_c)/(0 − n_c) = −52/16

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1500·16/68 = 352.9 rpm

답

n_c = 352.9 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: d_o = 62.86 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·60·0.6836)) = 62.86 mm

d_i = 0.75·62.86 = 47.14 mm

답

d_o = 62.86 mm

속이 찬 축이라면 d = 55.37 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: φ_C = 14.37 °

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 750 = −250 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −250000·2500/(39000·38350) = −0.4179 rad

φ_BC = 500000·2000/(39000·38350) = 0.6686 rad

끝 C의 비틀림각

φ_C = −0.4179 + 0.6686 = 0.2507 rad → |φ_C| = 14.37°

답

φ_C = 14.37°

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = 4.731 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = 30/30.41 = 0.9864, sin 2θ_s = −(−5)/30.41 = 0.1644

2θ_s = atan2(5, 30) = 9.462°

요소에서의 각도

θ_s = 4.731°

검산: θ_s − θ_p = 4.731 − 49.73 = −45°

답

θ_s = 4.731°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: τ_θ = 1.34 MPa

변환 식

τ_θ = −−10·−0.866 + 20·0.5 = 1.34 MPa

답

τ_θ = 1.34 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 23.13 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 85·1000/78.54 = 1082 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1082/117000 = 0.00925 = 9250 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.00925·2500 mm = 23.13 mm

답

δ = 23.13 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 17.51 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 110000·1963/500 = 431969 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 50000·431969/628319 = 34375 N

응력

σ₂ = 34375/1963 = 17.51 MPa (압축)

답

σ₂ = 17.51 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 25.63 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1750² = 25628 N = 25.63 kN

답

P_cr = 25.63 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 31.97 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·15000 = 45000 N

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 31.97 mm

답

d = 31.97 mm

확인: 세장비 KL/r는 187.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 3.326 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(12000/25) = 21.91 rad/s

f_n = 21.91/(2π) = 3.487 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.487·√(1 − 0.3²) = 3.326 Hz

답

f_d = 3.326 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 5.955 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 25 = 35 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(35000/25) = 37.42 rad/s

f_n = 37.42/(2π) = 5.955 Hz

답

f_n = 5.955 Hz

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