기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1500 rpm으로 도는 4 kW 모터가 잇수 20개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 25개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 97%이다. 기어 축의 출력 토크 T₂을(를) 구하시오.

P = 4 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 20N₂ = 25η = 97%

T₂ = N·m

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 48개)가 2900 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 50개)를 구동한다. 기어 C(잇수 16개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 80개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 2900 rpmA = 48B = 50C = 16D = 80

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 12 mm인 속이 찬 시편에 토크 50 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 250 mm의 양 끝이 서로 13.53° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 50 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 13.53°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

지름 20 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 2 m, B에서 0.5 m 떨어진 C에 토크 200 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 T_A을(를) 구하시오.

d = 20 mmT₀ = 200 N·ma = 2 mb = 0.5 m

T_A = N·m

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = 10 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 275 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = −40 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 300 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 300 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 45 kN구간 1: Ø40 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 85 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 85 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 200 kN/m인 스프링에 달린 25 kg 질량에 감쇠비 0.4을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk = 200 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

40 kg 질량이 스프링 k₃ = 60 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 50 kN/m, k₂ = 10 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 40 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₂ = 30.88 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/157.1 = 25.46 N·m

출력 토크

T₂ = 25.46·25/20·0.97 = 30.88 N·m

답

T₂ = 30.88 N·m

2.기어와 기어열

답: n_out = 556.8 rpm

1단

n_B = 2900·48/50 = 2784 rpm = n_C

2단

n_out = 2784·16/80 = 556.8 rpm

답

n_out = 556.8 rpm

전체 기어비 = 5.208 : 1

3.축의 비틀림

답: G = 26 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 13.53·π/180 = 0.2361 rad

전단 탄성 계수

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·250/(2036·0.2361) = 26002 MPa

G = 26 GPa

답

G = 26 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: T_A = 40 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·0.5/2.5 = 40 N·m

T_B = 200·2/2.5 = 160 N·m

답

T_A = 40 N·m

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 37.07 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 60 MPa, R = √((−10)² + 10²) = 14.14 MPa

σ₁ = 74.14 MPa, σ₂ = 45.86 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(28.28, 74.14, 45.86)/2 = 37.07 MPa

답

τ_abs = 37.07 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 2.75

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 0 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 50 MPa, σ₂ = −50 MPa, σ₃ = 0

트레스카

σ_max − σ_min = 100 MPa

n = 275/100 = 2.75

답

n = 2.75

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.4341 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·5027 = 4.147 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 300000·600/4.147 × 10⁸ = 0.4341 mm

답

δ = 0.4341 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 397.9 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 35.81 MPa

σ₂ = 397.9 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 397.9 MPa

답

σ_max = 397.9 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 13.89 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·2500 = 2500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2500² = 13891 N = 13.89 kN

답

P_cr = 13.89 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 63.68 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 63.68 mm

답

d = 63.68 mm

확인: 세장비 KL/r는 157이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 13.05 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(200000/25) = 89.44 rad/s

f_n = 89.44/(2π) = 14.24 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 14.24·√(1 − 0.4²) = 13.05 Hz

답

f_d = 13.05 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 4.359 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 50 + 10 = 60 kN/m

k_eq = 60·60/(60 + 60) = 30 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(30000/40) = 27.39 rad/s

f_n = 27.39/(2π) = 4.359 Hz

답

f_n = 4.359 Hz

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