기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1450 rpm의 1.1 kW 모터가 줄 수 3인 웜을 구동한다. 웜 휠의 잇수는 80개이고 구동 장치의 효율은 85%이다. 휠 축의 출력 토크 T_w을(를) 구하시오.

z = 3N_w = 80n = 1450 rpmP = 1.1 kWη = 85%

T_w = N·m

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 1450 rpm의 80 mm 구동 풀리를 250 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 500 mm입니다. 마찰계수는 0.3이고 긴장측 장력은 800 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 80 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 250 mmC = 500 mmμ = 0.3T₁ = 800 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 400 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 1800 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 75 kWN = 1800 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 160 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 160 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

지름 50 mm인 속이 찬 축이 축방향 압축력 50 kN와(과) 토크 2000 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ₁을(를) 구하시오.

d = 50 mmF = −50 kNT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 25 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 200 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 60 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

200 kg 질량이 강성 200 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 630 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 200 kgk = 200 kN/mc = 630 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 스프링 k₃ = 5 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 5 kN/m, k₂ = 5 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T_w = 164.2 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

휠 속도

n_w = n·z/N_w = 1450·3/80 = 54.38 rpm

출력 토크

ω_w = 2π·54.38/60 = 5.694 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.85·1100/5.694 = 164.2 N·m

답

T_w = 164.2 N·m

2.기어와 기어열

답: P = 2.761 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 2.8 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.84 = 2.316, T₂ = 800/2.316 = 345.4 N

전력

P = (800 − 345.4)·6.074 = 2.761 kW

답

P = 2.761 kW

3.축의 비틀림

답: φ = 2.806 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(26000·251327) = 0.04897 rad

φ = 0.04897·180/π = 2.806°

답

φ = 2.806°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 10.78 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 75000/188.5 = 397.9 N·m

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1.107 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 397887·30/1.107 × 10⁶ = 10.78 MPa

답

τ_max = 10.78 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = −10.9 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·−10, 160 − 110) = −21.8°

요소에서의 각도

θ_p = −10.9°

답

θ_p = −10.9°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ₁ = 69.74 MPa

표면의 응력

σ = F/A = −50000/(π·50²/4) = −50000/1963 = −25.46 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·50³) = 81.49 MPa

모어 원

C = σ/2 = −12.73 MPa

R = √((−12.73)² + 81.49²) = 82.48 MPa

σ₁ = C + R = 69.74 MPa

σ₂ = C − R = −95.21 MPa

답

σ₁ = 69.74 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 142.5 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1963) = 2.315 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.5/3.509 × 10⁻⁶ = 142505 N = 142.5 kN

답

P = 142.5 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 53.77 MPa

강성

k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 120000·706.9/200 = 424115 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 60000·424115/669552 = 38006 N

응력

σ₂ = 38006/706.9 = 53.77 MPa (압축)

답

σ₂ = 53.77 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 78.75 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/4200² = 78746 N = 78.75 kN

답

P_cr = 78.75 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 7.896 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7.896 MPa

답

σ_cr = 7.896 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.04981

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·200) = 12649 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 630/12649 = 0.04981

답

ζ = 0.04981

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 2.055 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 5 + 5 = 10 kN/m

k_eq = 10·5/(10 + 5) = 3.333 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(3333/20) = 12.91 rad/s

f_n = 12.91/(2π) = 2.055 Hz

답

f_n = 2.055 Hz

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