기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
두 평행축이 87.5 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 2.5 mm, 감속비 2.5 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 기어의 잇수 N2은(는) 몇 개여야 하는가?
a = 87.5 mmm = 2.5 mmi = 2.5
N2 =
2.기어와 기어열어려움
유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 16개, 각 유성 기어의 잇수는 20개이다. 유성 캐리어는 고정되어 있고 태양 기어는 1440 rpm으로 구동된다. 링 기어의 회전 속도 nr(크기)을(를) 구하시오.
Ns = 16Np = 20ns = 1440 rpm
nr = rpm
3.축의 비틀림보통
강철 중공축(바깥지름 30 mm, 안지름 21 mm, 길이 0.8 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 200 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 200 N·mdo = 30 mmdi = 21 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
지름 40 mm인 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 1.5 m 떨어진 B에 토크 500 N·m이(가), 거기서 1.2 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 750 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φC을(를) 도(°)로 구하시오.
d = 40 mmTB = 500 N·mTC = 750 N·mAB = 1.5 mBC = 1.2 mG = 39 GPa
φC = °
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 130 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 시계 방향 20° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.
σx = 130 MPaσy = −30 MPaτxy = 40 MPaθ = -20°
σy′ = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −40 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 35° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = −40 MPaσy = 50 MPaτxy = −20 MPaθ = 35°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 150 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.
P = 150 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 15 kN구간 1: Ø40 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
강성 1 kN/m인 스프링에 달린 2 kg 질량에 감쇠비 0.4을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 2 kgk = 1 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.기계 진동어려움
5 kg 질량이 스프링 k₃ = 50 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 60 kN/m, k₂ = 20 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 5 kgk1 = 60 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: N2 = 50
기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: Ft = 2T/d.
총 잇수
N1 + N2 = 2a/m = 2·87.5/2.5 = 70
비율로 나누기
N1 = 70/(1 + 2.5) = 20
N2 = 2.5·20 = 50
답
N2 = 50
2.기어와 기어열
답: nr = 411.4 rpm
유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.
링 기어 잇수
Nr = Ns + 2·Np = 16 + 2·20 = 56
캐리어 고정일 때의 윌리스 식
nc = 0이면 태양 기어가 아이들 기어 역할을 하는 유성 기어를 통해 링을 구동합니다.
nr = −ns·Ns/Nr = −1440·16/56 = −411.4 rpm
|nr| = 411.4 rpm
답
nr = 411.4 rpm
링은 태양 기어와 반대 방향으로 돕니다.
3.축의 비틀림
답: φ = 1.896 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴
비틀림각
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·800/(80000·60428) = 0.0331 rad
φ = 0.0331·180/π = 1.896°
답
φ = 1.896°
4.축의 비틀림
답: φC = 16.22 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
내부 토크
TC의 방향을 양으로 잡습니다.
TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC + TB = 750 + 500 = 1250 N·m
각 구간의 비틀림각
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 1.25 × 10⁶·1500/(39000·251327) = 0.1913 rad
φBC = 750000·1200/(39000·251327) = 0.09182 rad
끝 C의 비틀림각
φC = 0.1913 + 0.09182 = 0.2831 rad → |φC| = 16.22°
답
φC = 16.22°
5.모어 원과 응력 변환
답: σy′ = 14.43 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
y′ 면의 변환 공식
σy′ = 50 − 80·0.766 − 40·(−0.6428) = 14.43 MPa
검산
수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.
σx′ = 85.57 MPa, σx′ + σy′ = 100 = σx + σy
답
σy′ = 14.43 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: σθ = −29.18 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 5 + −45·0.342 + −20·0.9397 = −29.18 MPa
답
σθ = −29.18 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 0.08328 mm
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·8482 = 1.081 × 10⁹ N
줄어든 길이
δ = 150000·600/1.081 × 10⁹ = 0.08328 mm
답
δ = 0.08328 mm
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 74.6 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 11.94 MPa
σ2 = 74.6 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 74.6 MPa
답
σmax = 74.6 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 4.395 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·5000 = 10000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/10000² = 4395 N = 4.395 kN
답
Pcr = 4.395 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 21.93 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa
답
σcr = 21.93 MPa
11.기계 진동
답: fd = 3.262 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(1000/2) = 22.36 rad/s
fn = 22.36/(2π) = 3.559 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.4²) = 3.262 Hz
답
fd = 3.262 Hz
12.기계 진동
답: fn = 12.49 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.
k12 = 60 + 20 = 80 kN/m
keq = 80·50/(80 + 50) = 30.77 kN/m
고유 진동수
ωn = √(30769/5) = 78.45 rad/s
fn = 78.45/(2π) = 12.49 Hz
답
fn = 12.49 Hz
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