기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1450 rpm으로 도는 11 kW 모터가 잇수 12개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 15개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 95%이다. 기어 축의 출력 토크 T₂을(를) 구하시오.

P = 11 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 12N₂ = 15η = 95%

T₂ = N·m

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 1450 rpm의 125 mm 구동 풀리를 500 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 600 mm입니다. 마찰계수는 0.25이고 긴장측 장력은 1000 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 500 mmC = 600 mmμ = 0.25T₁ = 1000 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

강철 중공축(바깥지름 30 mm, 안지름 18 mm, 길이 0.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 2000 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 2000 N·md_o = 30 mmd_i = 18 mmL = 0.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 1800 rpm에서 30 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 1800 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 120 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

지름 25 mm인 속이 찬 축이 축방향 인장력 180 kN와(과) 토크 200 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 25 mmF = 180 kNT = 200 N·m

τ_max = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 25 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 135 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 135 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 4 kN/m인 스프링에 달린 2 kg 질량에 감쇠비 0.6을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 2 kgk = 4 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

5 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 80 kN/m, k₂ = 40 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₂ = 86.03 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/151.8 = 72.44 N·m

출력 토크

T₂ = 72.44·15/12·0.95 = 86.03 N·m

답

T₂ = 86.03 N·m

2.기어와 기어열

답: P = 4.418 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 2.506 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.6265 = 1.871, T₂ = 1000/1.871 = 534.5 N

전력

P = (1000 − 534.5)·9.49 = 4.418 kW

답

P = 4.418 kW

3.축의 비틀림

답: φ = 10.35 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(30⁴ − 18⁴)/32 = 69216 mm⁴

비틀림각

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0.5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·500/(80000·69216) = 0.1806 rad

φ = 0.1806·180/π = 10.35°

답

φ = 10.35°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 4.003 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 30000/188.5 = 159.2 N·m

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·30/1.193 × 10⁶ = 4.003 MPa

답

τ_max = 4.003 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 41.23 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((120 − 100)/2)² + 40²) = 41.23 MPa

답

τ_max = 41.23 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 194.6 MPa

표면의 응력

σ = F/A = 180000/(π·25²/4) = 180000/490.9 = 366.7 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·25³) = 65.19 MPa

모어 원

C = σ/2 = 183.3 MPa

R = √(183.3² + 65.19²) = 194.6 MPa

답

τ_max = 194.6 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 72.12 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1257) = 2.17 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.3/4.16 × 10⁻⁶ = 72120 N = 72.12 kN

답

P = 72.12 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 10.19 MPa

강성

k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 100000·1963/500 = 392699 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 30000·392699/589049 = 20000 N

응력

σ₂ = 20000/1963 = 10.19 MPa (압축)

답

σ₂ = 10.19 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 4.905 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·4000 = 4000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4000² = 4905 N = 4.905 kN

답

P_cr = 4.905 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 74.3 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·135000 = 337500 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 74.3 mm

답

d = 74.3 mm

확인: 세장비 KL/r는 94.21이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 5.694 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(4000/2) = 44.72 rad/s

f_n = 44.72/(2π) = 7.118 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7.118·√(1 − 0.6²) = 5.694 Hz

답

f_d = 5.694 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 24.66 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 40 = 120 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(120000/5) = 154.9 rad/s

f_n = 154.9/(2π) = 24.66 Hz

답

f_n = 24.66 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design