기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
960 rpm의 3 kW 모터가 줄 수 3인 웜을 구동한다. 웜 휠의 잇수는 30개이고 구동 장치의 효율은 50%이다. 휠 축의 출력 토크 Tw을(를) 구하시오.
z = 3Nw = 30n = 960 rpmP = 3 kWη = 50%
Tw = N·m
2.기어와 기어열어려움
평벨트가 100 mm 풀리와 315 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 800 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.
d1 = 100 mmd2 = 315 mmC = 800 mm
θ = °
3.축의 비틀림보통
비틀림 시험에서 지름 15 mm인 속이 찬 시편에 토크 40 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 200 mm의 양 끝이 서로 2.36° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.
T = 40 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 2.36°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
속이 빈 축이 1800 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 1800 rpmdo = 50 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 30 MPa, σᵧ = 10 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = 30 MPaσy = 10 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 250 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.
σx = 120 MPaσy = 20 MPaτxy = 60 MPaσY = 250 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 20 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 80 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø12 mm, 0.5 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
40 kg 질량이 강성 15 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 310 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
m = 40 kgk = 15 kN/mc = 310 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
100 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 40 kN/m, k₂ = 40 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.
m = 100 kgk1 = 40 kN/mk2 = 40 kN/m
keq = kN/m
3용액
1.기어와 기어열
답: Tw = 149.2 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
휠 속도
nw = n·z/Nw = 960·3/30 = 96 rpm
출력 토크
ωw = 2π·96/60 = 10.05 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.5·3000/10.05 = 149.2 N·m
답
Tw = 149.2 N·m
2.기어와 기어열
답: θ = 164.6 °
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
벨트 각도
asin(0.1344) = 7.722°
접촉각
θ = 180 − 2·7.722 = 164.6°
답
θ = 164.6°
3.축의 비틀림
답: G = 39.08 GPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트와 각
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 2.36·π/180 = 0.04119 rad
전단 탄성 계수
T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·200/(4970·0.04119) = 39078 MPa
G = 39.08 GPa
답
G = 39.08 GPa
비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.
4.축의 비틀림
답: τmax = 27.46 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 75000/188.5 = 397.9 N·m
극관성 모멘트
J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴
최대 전단 응력
τmax = T·(do/2)/J = 397887·25/362265 = 27.46 MPa
답
τmax = 27.46 MPa
5.모어 원과 응력 변환
답: θp = 40.27 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·60, 30 − 10) = 80.54°
요소에서의 각도
θp = 40.27°
답
θp = 40.27°
반시계 방향 각도가 양입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: n = 1.6
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = 70 MPa, R = 78.1 MPa
σ1 = 148.1 MPa, σ2 = −8.102 MPa, σ3 = 0
트레스카
σmax − σmin = 156.2 MPa
n = 250/156.2 = 1.6
답
n = 1.6
n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.
7.축 응력과 변형률
답: ε = 1421 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 20·1000/201.1 = 99.47 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 99.47/70000 = 0.001421 = 1421 µε
답
ε = 1421 µε
8.축 응력과 변형률
답: δ = 6.425 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 163 MPa
σ2 = 707.4 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 163·2000/70000 = 4.656 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 707.4·500/200000 = 1.768 mm
δ = δ1 + δ2 = 6.425 mm
답
δ = 6.425 mm
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 23.03 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·2000 = 4000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/4000² = 23029 N = 23.03 kN
답
Pcr = 23.03 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 62.66 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/10 = 105
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62.66 MPa
답
σcr = 62.66 MPa
11.기계 진동
답: ζ = 0.2001
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
임계 감쇠
cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·40) = 1549 N·s/m
감쇠비
ζ = c/cc = 310/1549 = 0.2001
답
ζ = 0.2001
ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.
12.기계 진동
답: keq = 80 kN/m
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 40 + 40 = 80 kN/m
답
keq = 80 kN/m
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