기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 101.3 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 2.5 mm, 감속비 3.5 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 피니언의 잇수 N₁은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 101.3 mmm = 2.5 mmi = 3.5

N₁ =

2.기어와 기어열어려움

1450 rpm의 3 kW 모터가 기어 A(잇수 18개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 50개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 24개)는 출력축의 기어 D(잇수 45개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 98%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 3 kWn_in = 1450 rpmA = 18B = 50C = 24D = 45η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.축의 비틀림보통

길이 1.2 m인 속이 찬 강철 축이 토크 1500 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 2°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 1500 N·mL = 1.2 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.축의 비틀림어려움

지름 30 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 3 m, B에서 0.5 m 떨어진 C에 토크 200 N·m이(가) 가해진다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 30 mmT₀ = 200 N·ma = 3 mb = 0.5 m

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 30 MPa, σᵧ = −70 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = 30 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

지름 25 mm인 속이 찬 축이 축방향 압축력 70 kN와(과) 토크 100 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ₁을(를) 구하시오.

d = 25 mmF = −70 kNT = 100 N·m

σ₁ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 400 mm, E = 120 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 90 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 140 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 140 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 100 kN/m인 스프링에 달린 150 kg 질량에 감쇠비 0.5을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 150 kgk = 100 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 40 kN/m, k₂ = 30 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N₁ = 18

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·101.3/2.5 = 81

비율로 나누기

N₁ = 81/(1 + 3.5) = 18

답

N₁ = 18

2.기어와 기어열

답: T_out = 98.83 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

n_out = 1450·(18/50)·(24/45) = 278.4 rpm

ω_out = 2π·278.4/60 = 29.15 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 3000·0.98² = 2881 W

T_out = P_out/ω_out = 2881/29.15 = 98.83 N·m

답

T_out = 98.83 N·m

3.축의 비틀림

답: d = 50.62 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

L = 1.2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 1.5 × 10⁶·1200/(80000·0.03491) = 644578 mm⁴

지름

d = (32J/π)^1/4 = 50.62 mm

답

d = 50.62 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 32.34 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·0.5/3.5 = 28.57 N·m

T_B = 200·3/3.5 = 171.4 N·m

최대 전단 응력

두 토크 중 큰 값이 지배합니다(지름이 같음).

τ_max = 16·171429/(π·30³) = 32.34 MPa

답

τ_max = 32.34 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = −70.1 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = −60/78.1 = −0.7682, sin 2θ_s = −50/78.1 = −0.6402

2θ_s = atan2(−50, −60) = −140.2°

요소에서의 각도

θ_s = −70.1°

검산: θ_s − θ_p = −70.1 − (−25.1) = −45°

답

θ_s = −70.1°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ₁ = 7.097 MPa

표면의 응력

σ = F/A = −70000/(π·25²/4) = −70000/490.9 = −142.6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·25³) = 32.59 MPa

모어 원

C = σ/2 = −71.3 MPa

R = √((−71.3)² + 32.59²) = 78.4 MPa

σ₁ = C + R = 7.097 MPa

σ₂ = C − R = −149.7 MPa

답

σ₁ = 7.097 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 50.49 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1963) = 1.698 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.3/5.942 × 10⁻⁶ = 50490 N = 50.49 kN

답

P = 50.49 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 447.6 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 183.3 MPa

σ₂ = 447.6 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 447.6 MPa

답

σ_max = 447.6 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 110.2 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·1000 = 700 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/700² = 110152 N = 110.2 kN

답

P_cr = 110.2 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 205.5 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 205.5 mm

답

d = 205.5 mm

확인: 세장비 KL/r는 233.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 3.559 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(100000/150) = 25.82 rad/s

f_n = 25.82/(2π) = 4.109 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4.109·√(1 − 0.5²) = 3.559 Hz

답

f_d = 3.559 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 9.416 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 30 = 70 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(70000/20) = 59.16 rad/s

f_n = 59.16/(2π) = 9.416 Hz

답

f_n = 9.416 Hz

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