기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 101.3 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 1.5 mm, 감속비 3.5 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 기어의 잇수 N₂은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 101.3 mmm = 1.5 mmi = 3.5

N₂ =

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 720 rpm의 200 mm 구동 풀리를 315 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 1200 mm입니다. 마찰계수는 0.25이고 긴장측 장력은 1000 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 200 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 315 mmC = 1200 mmμ = 0.25T₁ = 1000 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

중공축이 토크 100 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.8배로 하고, 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

T = 100 N·md_i/d_o = 0.8τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.축의 비틀림어려움

지름 40 mm인 속이 찬 황동 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 3 m, B에서 2.5 m 떨어진 C에 토크 2000 N·m이(가) 가해진다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 40 mmT₀ = 2000 N·ma = 3 mb = 2.5 m

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 0 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = 20 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 0 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −50 MPa, σᵧ = 0 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 30° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = −50 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 250 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 250 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 50 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

강성 12 kN/m인 스프링에 달린 15 kg 질량에 감쇠비 0.3을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 15 kgk = 12 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

25 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 15 kN/m, k₂ = 30 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: N₂ = 105

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·101.3/1.5 = 135

비율로 나누기

N₁ = 135/(1 + 3.5) = 30

N₂ = 3.5·30 = 105

답

N₂ = 105

2.기어와 기어열

답: P = 4.019 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 3.046 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.7614 = 2.141, T₂ = 1000/2.141 = 467 N

전력

P = (1000 − 467)·7.54 = 4.019 kW

답

P = 4.019 kW

3.축의 비틀림

답: d_o = 27.83 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·40·0.5904)) = 27.83 mm

d_i = 0.8·27.83 = 22.27 mm

답

d_o = 27.83 mm

속이 찬 축이라면 d = 23.35 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 86.81 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·2.5/5.5 = 909.1 N·m

T_B = 2000·3/5.5 = 1091 N·m

최대 전단 응력

두 토크 중 큰 값이 지배합니다(지름이 같음).

τ_max = 16·1.091 × 10⁶/(π·40³) = 86.81 MPa

답

τ_max = 86.81 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 36.06 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = −30 MPa, R = √(30² + 20²) = 36.06 MPa

σ₁ = 6.056 MPa, σ₂ = −66.06 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(72.11, 6.056, 66.06)/2 = 36.06 MPa

답

τ_abs = 36.06 MPa

여기서는 σ₁과 σ₂의 부호가 반대이므로 면내 최댓값 R이 곧 절대 최댓값입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 14.46 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σ_θ = −25 + −25·0.5 + 60·0.866 = 14.46 MPa

답

σ_θ = 14.46 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.3041 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·5027 = 4.932 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 250000·600/4.932 × 10⁸ = 0.3041 mm

답

δ = 0.3041 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 9.794 MPa

강성

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 100000·1963/500 = 392699 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 50000·392699/1.021 × 10⁶ = 19231 N

응력

σ₂ = 19231/1963 = 9.794 MPa (압축)

답

σ₂ = 9.794 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 94 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/1400² = 93996 N = 94 kN

답

P_cr = 94 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 26.99 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/6.25 = 160

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26.99 MPa

답

σ_cr = 26.99 MPa

11.기계 진동

답: f_d = 4.294 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(12000/15) = 28.28 rad/s

f_n = 28.28/(2π) = 4.502 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4.502·√(1 − 0.3²) = 4.294 Hz

답

f_d = 4.294 Hz

12.기계 진동

답: k_eq = 45 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 30 = 45 kN/m

답

k_eq = 45 kN/m

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