기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 270 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 3 mm, 감속비 5 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 기어의 잇수 N₂은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 270 mmm = 3 mmi = 5

N₂ =

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 12개)가 1440 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 18개)를 구동한다. 기어 C(잇수 15개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 60개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 1440 rpmA = 12B = 18C = 15D = 60

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

길이 1 m인 속이 찬 강철 축이 토크 200 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 1.5°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 200 N·mL = 1 mG = 80 GPaφ_allow = 1.5°

d = mm

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 3000 rpm에서 50 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 3000 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 70 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = 70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 120 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 275 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 120 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 500 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 35 kN구간 1: Ø40 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 145 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 145 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 5 kN/m인 스프링에 달린 12 kg 질량에 감쇠비 0.5을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 12 kgk = 5 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 50 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 12 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: N₂ = 150

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·270/3 = 180

비율로 나누기

N₁ = 180/(1 + 5) = 30

N₂ = 5·30 = 150

답

N₂ = 150

2.기어와 기어열

답: n_out = 240 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 1440·12/18 = 960 rpm = n_C

2단

n_out = 960·15/60 = 240 rpm

답

n_out = 240 rpm

전체 기어비 = 6 : 1

3.축의 비틀림

답: d = 31.4 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·1000/(80000·0.02618) = 95493 mm⁴

지름

d = (32J/π)^1/4 = 31.4 mm

답

d = 31.4 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 9.731 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·25/408885 = 9.731 MPa

답

τ_max = 9.731 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = −56.98 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = −20/49.24 = −0.4061, sin 2θ_s = −45/49.24 = −0.9138

2θ_s = atan2(−45, −20) = −114°

요소에서의 각도

θ_s = −56.98°

검산: θ_s − θ_p = −56.98 − (−11.98) = −45°

답

θ_s = −56.98°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 2.115

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 55 MPa, R = 68.01 MPa

σ₁ = 123 MPa, σ₂ = −13.01 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(123² − 123·(−13.01) + (−13.01)²) = 130 MPa

n = 275/130 = 2.115

답

n = 2.115

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.04547 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·8482 = 1.1 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 100000·500/1.1 × 10⁹ = 0.04547 mm

답

δ = 0.04547 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 111.4 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 27.85 MPa

σ₂ = 111.4 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 111.4 MPa

답

σ_max = 111.4 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 11.79 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/1250² = 11791 N = 11.79 kN

답

P_cr = 11.79 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 101.9 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 101.9 mm

답

d = 101.9 mm

확인: 세장비 KL/r는 235.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 2.813 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(5000/12) = 20.41 rad/s

f_n = 20.41/(2π) = 3.249 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.249·√(1 − 0.5²) = 2.813 Hz

답

f_d = 2.813 Hz

12.기계 진동

답: k_eq = 9.677 kN/m

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/12 → k_eq = 50·12/(50 + 12) = 9.677 kN/m

답

k_eq = 9.677 kN/m

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