기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
960 rpm으로 도는 11 kW 모터가 잇수 16개, 모듈 3 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 Ft을(를) 구하시오.
P = 11 kWn = 960 rpmN1 = 16m = 3 mm
Ft = N
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 50개)가 3000 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 60개)를 구동한다. 기어 C(잇수 40개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 60개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.
nin = 3000 rpmA = 50B = 60C = 40D = 60
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
단이 진 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 50 mm, 길이 0.5 m이고, 구간 BC는 지름 25 mm, 길이 3 m이다. 자유단 C에 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
T = 200 N·md1 = 50 mm, L1 = 0.5 md2 = 25 mm, L2 = 3 m
τmax = MPa
4.축의 비틀림어려움
중공축이 750 rpm에서 50 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.7배로 하고, 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.
P = 50 kWN = 750 rpmdi/do = 0.7τallow = 40 MPa
do = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = −50 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.
σx = 120 MPaσy = 110 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = −50 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 350 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.
σx = 120 MPaσy = 90 MPaτxy = −50 MPaσY = 350 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 75 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 115 kN구간 1: Ø30 mm, 0.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 20 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 20 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
200 kg 질량이 강성 20 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 320 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
m = 200 kgk = 20 kN/mc = 320 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
20 kg 질량이 스프링 k₃ = 50 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 15 kN/m, k₂ = 80 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 20 kgk1 = 15 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: Ft = 4559 N
기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: Ft = 2T/d.
피니언의 토크
ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T = P/ω = 11000/100.5 = 109.4 N·m
피치원 지름
d = m·N = 3·16 = 48 mm
접선력
Ft = 2T/d = 2·109.4/0.048 = 4559 N
답
Ft = 4559 N
2.기어와 기어열
답: nout = 1667 rpm
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
1단
nB = 3000·50/60 = 2500 rpm = nC
2단
nout = 2500·40/60 = 1667 rpm
답
nout = 1667 rpm
전체 기어비 = 1.8 : 1
3.축의 비틀림
답: τmax = 65.19 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
각 구간의 응력
T = 200 N·m = 200000 N·mm
τAB = 16·200000/(π·50³) = 8.149 MPa
τBC = 16·200000/(π·25³) = 65.19 MPa
답
τmax = 65.19 MPa
4.축의 비틀림
답: do = 47.43 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m
허용 응력에서 구한 바깥지름
T = 636.6 N·m = 636620 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·636620/(π·40·0.7599)) = 47.43 mm
di = 0.7·47.43 = 33.2 mm
답
do = 47.43 mm
속이 찬 축이라면 d = 43.28 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: τabs = 82.62 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.
면내 주응력
C = 115 MPa, R = √(5² + (−50)²) = 50.25 MPa
σ1 = 165.2 MPa, σ2 = 64.75 MPa, σz = 0
세 원 중 가장 큰 원
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(100.5, 165.2, 64.75)/2 = 82.62 MPa
답
τabs = 82.62 MPa
여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: n = 2.526
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = 105 MPa, R = 52.2 MPa
σ1 = 157.2 MPa, σ2 = 52.8 MPa, σ3 = 0
폰 미제스
σvM = √(157.2² − 157.2·52.8 + 52.8²) = 138.6 MPa
n = 350/138.6 = 2.526
답
n = 2.526
n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.
7.축 응력과 변형률
답: ε = 1306 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 75·1000/490.9 = 152.8 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 152.8/117000 = 0.001306 = 1306 µε
답
ε = 1306 µε
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 366.1 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 162.7 MPa
σ2 = 366.1 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 366.1 MPa
답
σmax = 366.1 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 56.65 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/2800² = 56650 N = 56.65 kN
답
Pcr = 56.65 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 68.71 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·20000 = 60000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 68.71 mm
답
d = 68.71 mm
확인: 세장비 KL/r는 349.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.08
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
임계 감쇠
cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·200) = 4000 N·s/m
감쇠비
ζ = c/cc = 320/4000 = 0.08
답
ζ = 0.08
ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.
12.기계 진동
답: fn = 6.441 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.
k12 = 15 + 80 = 95 kN/m
keq = 95·50/(95 + 50) = 32.76 kN/m
고유 진동수
ωn = √(32759/20) = 40.47 rad/s
fn = 40.47/(2π) = 6.441 Hz
답
fn = 6.441 Hz
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