기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
N1​ = 12N2​ = 80

1450 rpm으로 도는 4 kW 모터가 잇수 12개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 80개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 98%이다. 모터 축의 토크 T1을(를) 구하시오.

P = 4 kWn1 = 1450 rpmN1 = 12N2 = 80η = 98%
T1 = N·m
2.기어와 기어열어려움
A = 36B = 50C = 32D = 50

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 36개)가 2900 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 50개)를 구동한다. 기어 C(잇수 32개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 50개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.

nin = 2900 rpmA = 36B = 50C = 32D = 50
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
d1​ = 60 mmd2​ = 40 mmT = 100 N·mABC1.5 m0.8 m

단이 진 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 60 mm, 길이 1.5 m이고, 구간 BC는 지름 40 mm, 길이 0.8 m이다. 자유단 C에 토크 100 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

T = 100 N·md1 = 60 mm, L1 = 1.5 md2 = 40 mm, L2 = 0.8 m
τmax = MPa
4.축의 비틀림어려움
d = 40 mmT0​ = 400 N·mACBa = 0.8 mb = 1.2 m

지름 40 mm인 속이 찬 강철 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 0.8 m, B에서 1.2 m 떨어진 C에 토크 400 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 TA을(를) 구하시오.

d = 40 mmT0 = 400 N·ma = 0.8 mb = 1.2 m
TA = N·m
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 90σy​ = 60τxy​ = 40MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = 40 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σx = 90 MPaσy = 60 MPaτxy = 40 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −60σy​ = 90τxy​ = 60MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 30° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σx = −60 MPaσy = 90 MPaτxy = 60 MPaθ = -30°
τθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
Ø 30 mm황동3 mP = 55 kN

황동 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 55 kNd = 30 mmL = 3 mE = 100 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
30 kN12600 mm500 mmØ20Ø50σ2​ = ?

강철 구간(지름 20 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
PL = 2 m40 × 60 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 95 kNL = 5 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 95 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 95 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
k = 100 kN/mc = 100 N·s/mm = 10 kg

10 kg 질량이 강성 100 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 100 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 10 kgk = 100 kN/mc = 100 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 12k2​ = 40k3​ = 40m = 20 kg

20 kg 질량이 스프링 k₃ = 40 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 12 kN/m, k₂ = 40 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk1 = 12 kN/mk2 = 40 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T1 = 26.34 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/151.8 = 26.34 N·m

답

T1 = 26.34 N·m
2.기어와 기어열

답: nout = 1336 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

nB = 2900·36/50 = 2088 rpm = nC

2단

nout = 2088·32/50 = 1336 rpm

답

nout = 1336 rpm

전체 기어비 = 2.17 : 1

3.축의 비틀림

답: τmax = 7.958 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

각 구간의 응력

T = 100 N·m = 100000 N·mm
τAB = 16·100000/(π·60³) = 2.358 MPa
τBC = 16·100000/(π·40³) = 7.958 MPa

답

τmax = 7.958 MPa
4.축의 비틀림

답: TA = 240 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·1.2/2 = 240 N·m
TB = 400·0.8/2 = 160 N·m

답

TA = 240 N·m
5.모어 원과 응력 변환

답: τabs = 58.86 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

στxyCσ1​σ2​

면내 주응력

C = 75 MPa, R = √(15² + 40²) = 42.72 MPa
σ1 = 117.7 MPa, σ2 = 32.28 MPa, σz = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(85.44, 117.7, 32.28)/2 = 58.86 MPa

답

τabs = 58.86 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: τθ = −34.95 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

τθ = −−75·−0.866 + 60·0.5 = −34.95 MPa

답

τθ = −34.95 MPa
7.축 응력과 변형률

답: ε = 778.1 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 55·1000/706.9 = 77.81 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 77.81/100000 = 0.0007781 = 778.1 µε

답

ε = 778.1 µε
8.축 응력과 변형률

답: σ2 = 12.5 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 120000·1963/500 = 471239 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 30000·471239/575959 = 24545 N

응력

σ2 = 24545/1963 = 12.5 MPa (압축)

답

σ2 = 12.5 MPa
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 39.48 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·2000 = 4000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/4000² = 39478 N = 39.48 kN

답

Pcr = 39.48 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 153.8 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·95000 = 190000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 153.8 mm

답

d = 153.8 mm

확인: 세장비 KL/r는 260이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.05

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

cc = 2·√(k·m) = 2·√(100000·10) = 2000 N·s/m

감쇠비

ζ = c/cc = 100/2000 = 0.05

답

ζ = 0.05

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: fn = 5.351 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 12 + 40 = 52 kN/m
keq = 52·40/(52 + 40) = 22.61 kN/m

고유 진동수

ωn = √(22609/20) = 33.62 rad/s
fn = 33.62/(2π) = 5.351 Hz

답

fn = 5.351 Hz

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