기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1450 rpm으로 도는 4 kW 모터가 잇수 16개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 25개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 95%이다. 기어 축의 출력 토크 T₂을(를) 구하시오.

P = 4 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 16N₂ = 25η = 95%

T₂ = N·m

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 30개)가 3000 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 80개)를 구동한다. 기어 C(잇수 15개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D를 구동한다. 출력은 337.5 rpm으로 돌아야 한다. 기어 D의 잇수 N_D은(는) 몇 개여야 하는가?

n_in = 3000 rpmA = 30B = 80C = 15n_out = 337.5 rpm

N_D =

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 200 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 25 mm인 속이 찬 강철 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1.2 m, B에서 0.8 m 떨어진 C에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 25 mmT₀ = 250 N·ma = 1.2 mb = 0.8 m

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 50 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = 50 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 10 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 20° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 10 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 90 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa, 허용응력 120 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 50 mm, E = 120 GPa, 허용응력 50 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPa관: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 85 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 85 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

25 kg 질량이 강성 25 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 80 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 25 kgk = 25 kN/mc = 80 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 스프링 k₃ = 25 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 50 kN/m, k₂ = 12 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₂ = 39.1 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/151.8 = 26.34 N·m

출력 토크

T₂ = 26.34·25/16·0.95 = 39.1 N·m

답

T₂ = 39.1 N·m

2.기어와 기어열

답: N_D = 50

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

중간축 속도

n_B = n_C = 3000·30/80 = 1125 rpm

기어 D의 잇수

N_D = C·n_C/n_out = 15·1125/337.5 = 50

답

N_D = 50

3.축의 비틀림

답: φ = 3.507 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(39000·251327) = 0.06121 rad

φ = 0.06121·180/π = 3.507°

답

φ = 3.507°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 48.89 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·0.8/2 = 100 N·m

T_B = 250·1.2/2 = 150 N·m

최대 전단 응력

두 토크 중 큰 값이 지배합니다(지름이 같음).

τ_max = 16·150000/(π·25³) = 48.89 MPa

답

τ_max = 48.89 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = −67.5 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = −30/42.43 = −0.7071, sin 2θ_s = −30/42.43 = −0.7071

2θ_s = atan2(−30, −30) = −135°

요소에서의 각도

θ_s = −67.5°

검산: θ_s − θ_p = −67.5 − (−22.5) = −45°

답

θ_s = −67.5°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = −13.37 MPa

변환 식

σ_θ = 20 + −10·0.766 + 40·−0.6428 = −13.37 MPa

답

σ_θ = −13.37 MPa

7.축 응력과 변형률

답: ε = 3979 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 90·1000/113.1 = 795.8 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 795.8/200000 = 0.003979 = 3979 µε

답

ε = 3979 µε

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 179.3 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·3063 = 4.304 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.0006, 0.0004167) = 0.0004167 (구리)

최대 하중

P_max = 0.0004167·4.304 × 10⁸ = 179333 N = 179.3 kN

답

P_max = 179.3 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 23.55 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·1500 = 750 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/750² = 23551 N = 23.55 kN

답

P_cr = 23.55 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 113.9 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 113.9 mm

답

d = 113.9 mm

확인: 세장비 KL/r는 280.9이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.0506

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·25) = 1581 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 80/1581 = 0.0506

답

ζ = 0.0506

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 3.004 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 50 + 12 = 62 kN/m

k_eq = 62·25/(62 + 25) = 17.82 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(17816/50) = 18.88 rad/s

f_n = 18.88/(2π) = 3.004 Hz

답

f_n = 3.004 Hz

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