기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

960 rpm으로 도는 4 kW 모터가 잇수 30개, 모듈 2.5 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 F_t을(를) 구하시오.

P = 4 kWn = 960 rpmN₁ = 30m = 2.5 mm

F_t = N

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 30개)가 3000 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 48개)를 구동한다. 기어 C(잇수 25개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 80개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 3000 rpmA = 30B = 48C = 25D = 80

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 15 mm인 속이 찬 시편에 토크 20 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 300 mm의 양 끝이 서로 0.86° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 20 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 0.86°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

지름 60 mm인 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 2.5 m 떨어진 B에 토크 500 N·m이(가), 거기서 0.8 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 1000 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 60 mmT_B = 500 N·mT_C = 1000 N·mAB = 2.5 mBC = 0.8 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = −20 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 시계 방향 30° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σ_y′을(를) 구하시오.

σ_x = −20 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 500 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 55 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 40 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 40 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 20 mm 다음 5주기 뒤에 최댓값 5.7 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 20 mmx₅ = 5.7 mmn = 5

ζ =

12.기계 진동어려움

5 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 50 kN/m, k₂ = 100 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: F_t = 1061 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

피니언의 토크

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T = P/ω = 4000/100.5 = 39.79 N·m

피치원 지름

d = m·N = 2.5·30 = 75 mm

접선력

F_t = 2T/d = 2·39.79/0.075 = 1061 N

답

F_t = 1061 N

2.기어와 기어열

답: n_out = 585.9 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 3000·30/48 = 1875 rpm = n_C

2단

n_out = 1875·25/80 = 585.9 rpm

답

n_out = 585.9 rpm

전체 기어비 = 5.12 : 1

3.축의 비틀림

답: G = 80.43 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 0.86·π/180 = 0.01501 rad

전단 탄성 계수

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·300/(4970·0.01501) = 80429 MPa

G = 80.43 GPa

답

G = 80.43 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: φ_C = 5.254 °

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 500 = 1500 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1.5 × 10⁶·2500/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.07557 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·800/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.01612 rad

끝 C의 비틀림각

φ_C = 0.07557 + 0.01612 = 0.09169 rad → |φ_C| = 5.254°

답

φ_C = 5.254°

5.모어 원과 응력 변환

답: σ_y′ = 114.5 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σ_y′ = 35 − (−55)·0.5 − 60·(−0.866) = 114.5 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σ_x′ = −44.46 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 70 = σ_x + σ_y

답

σ_y′ = 114.5 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 120 MPa

변환 식

σ_θ = 80 + −40·0 + 40·1 = 120 MPa

답

σ_θ = 120 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.04313 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·8482 = 1.159 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 100000·500/1.159 × 10⁹ = 0.04313 mm

답

δ = 0.04313 mm

8.축 응력과 변형률

답: δ = 5.633 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 112 MPa

σ₂ = 486.3 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 112·2000/70000 = 3.201 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 486.3·1000/200000 = 2.432 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5.633 mm

답

δ = 5.633 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 91.39 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1500 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1500² = 91385 N = 91.39 kN

답

P_cr = 91.39 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 37.3 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 37.3 mm

답

d = 37.3 mm

확인: 세장비 KL/r는 134.1이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.03992

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/5)·ln(20/5.7) = 0.2511

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2511/√(39.48 + 0.06303) = 0.03992

답

ζ = 0.03992

12.기계 진동

답: k_eq = 150 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 100 = 150 kN/m

답

k_eq = 150 kN/m

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