기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
N1​ = 12N2​ = 40

960 rpm으로 도는 7.5 kW 모터가 잇수 12개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 40개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 96%이다. 기어 축의 출력 토크 T2을(를) 구하시오.

P = 7.5 kWn1 = 960 rpmN1 = 12N2 = 40η = 96%
T2 = N·m
2.기어와 기어열어려움
A = 20B = 45C = 24D = 60

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 20개)가 3000 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 45개)를 구동한다. 기어 C(잇수 24개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 60개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.

nin = 3000 rpmA = 20B = 45C = 24D = 60
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
T = 1000 N·md = 25 mmL = 1.2 mφ = ?

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 1000 N·md = 25 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = 25 mmT0​ = 400 N·mACBa = 1.2 mb = 0.5 m

지름 25 mm인 속이 찬 강철 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1.2 m, B에서 0.5 m 떨어진 C에 토크 400 N·m이(가) 가해진다. 단면 C의 회전각 φC을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 25 mmT0 = 400 N·ma = 1.2 mb = 0.5 mG = 80 GPa
φC = °
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 100σy​ = 70τxy​ = 30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = 100 MPaσy = 70 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 80σy​ = −80τxy​ = 50MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 20° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 80 MPaσy = −80 MPaτxy = 50 MPaθ = -20°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
Ø 20 mm황동3 mP = 115 kN

황동 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 115 kNd = 20 mmL = 3 mE = 100 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 30 mm알루미늄0.5 mØ 12 mm황동1.5 mP = 95 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 95 kN구간 1: Ø30 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 5 m40 × 60 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 4 md = 50 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
k = 40 kN/mc = 290 N·s/mm = 80 kg

80 kg 질량이 강성 40 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 290 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 80 kgk = 40 kN/mc = 290 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 25k2​ = 12m = 5 kg

5 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 25 kN/m, k₂ = 12 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk1 = 25 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T2 = 238.7 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/100.5 = 74.6 N·m

출력 토크

T2 = 74.6·40/12·0.96 = 238.7 N·m

답

T2 = 238.7 N·m
2.기어와 기어열

답: nout = 533.3 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

nB = 3000·20/45 = 1333 rpm = nC

2단

nout = 1333·24/60 = 533.3 rpm

답

nout = 533.3 rpm

전체 기어비 = 5.625 : 1

3.축의 비틀림

답: φ = 22.41 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(80000·38350) = 0.3911 rad
φ = 0.3911·180/π = 22.41°

답

φ = 22.41°
4.축의 비틀림

답: φC = 2.637 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·0.5/1.7 = 117.6 N·m
TB = 400·1.2/1.7 = 282.4 N·m

C의 회전각

구간 AC를 쓰세요. A에서 고정되어 있고 TA를 받습니다.

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 117647·1200/(80000·38350) = 0.04602 rad = 2.637°

답

φC = 2.637°
5.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 33.54 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((100 − 70)/2)² + 30²) = 33.54 MPa

답

τmax = 33.54 MPa
6.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 29.14 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 0 + 80·0.766 + 50·−0.6428 = 29.14 MPa

답

σθ = 29.14 MPa
7.축 응력과 변형률

답: ε = 3661 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 115·1000/314.2 = 366.1 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 366.1/100000 = 0.003661 = 3661 µε

답

ε = 3661 µε
8.축 응력과 변형률

답: δ = 13.56 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 134.4 MPa
σ2 = 840 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 134.4·500/70000 = 0.96 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 840·1500/100000 = 12.6 mm
δ = δ1 + δ2 = 13.56 mm

답

δ = 13.56 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 25.27 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·5000 = 5000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/5000² = 25266 N = 25.27 kN

답

Pcr = 25.27 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 1.687 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/12.5 = 640

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/640² = 1.687 MPa

답

σcr = 1.687 MPa
11.기계 진동

답: ζ = 0.08106

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

cc = 2·√(k·m) = 2·√(40000·80) = 3578 N·s/m

감쇠비

ζ = c/cc = 290/3578 = 0.08106

답

ζ = 0.08106

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: fn = 13.69 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.

keq = 25 + 12 = 37 kN/m

고유 진동수

ωn = √(37000/5) = 86.02 rad/s
fn = 86.02/(2π) = 13.69 Hz

답

fn = 13.69 Hz

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