기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
줄 수 3인 웜이 2900 rpm으로 돌며 잇수 50개인 웜 휠을 구동한다. 휠의 회전 속도 nw을(를) 구하시오.
z = 3Nw = 50n = 2900 rpm
nw = rpm
2.기어와 기어열어려움
평벨트가 1440 rpm의 100 mm 구동 풀리를 315 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 500 mm입니다. 마찰계수는 0.35이고 긴장측 장력은 800 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).
d1 = 100 mmn1 = 1440 rpmd2 = 315 mmC = 500 mmμ = 0.35T1 = 800 N
P = kW
3.축의 비틀림보통
단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 50 mm, 길이 1.5 m이고, 구간 BC는 지름 30 mm, 길이 0.5 m이다. 자유단 C에 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φC을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 200 N·md1 = 50 mm, L1 = 1.5 md2 = 30 mm, L2 = 0.5 mG = 80 GPa
φC = °
4.축의 비틀림어려움
지름 30 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 3 m 떨어진 B에 토크 1500 N·m이(가), 거기서 1.2 m 더 떨어진 자유단 C에 반대 방향의 토크 400 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
d = 30 mmTB = 1500 N·mTC = 400 N·mAB = 3 mBC = 1.2 m
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 150 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = 150 MPaσy = 30 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 60° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 20 MPaσy = 50 MPaτxy = 20 MPaθ = 60°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 65 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 60 kN구간 1: Ø40 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
강성 15 kN/m인 스프링에 달린 100 kg 질량에 감쇠비 0.7을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 100 kgk = 15 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.기계 진동어려움
25 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 25 kN/m, k₂ = 20 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.
m = 25 kgk1 = 25 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m
3용액
1.기어와 기어열
답: nw = 174 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
휠 속도
nw = n·z/Nw = 2900·3/50 = 174 rpm
답
nw = 174 rpm
2.기어와 기어열
답: P = 3.694 kW
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
접촉각
θ = 2.708 rad
이완측 장력
eμθ = e0.9479 = 2.58, T₂ = 800/2.58 = 310.1 N
전력
P = (800 − 310.1)·7.54 = 3.694 kW
답
P = 3.694 kW
3.축의 비틀림
답: φC = 1.251 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J1 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
각 구간의 비틀림각
T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 200000·1500/(80000·613592) = 0.006112 rad
φBC = 200000·500/(80000·79522) = 0.01572 rad
전체 비틀림각
φC = 0.006112 + 0.01572 = 0.02183 rad = 1.251°
답
φC = 1.251°
4.축의 비틀림
답: τmax = 207.5 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
내부 토크
TC의 방향을 양으로 잡습니다.
TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC − TB = 400 − 1500 = −1100 N·m
최대 전단 응력
내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).
|T|max = 1100 N·m
τmax = 16·1.1 × 10⁶/(π·30³) = 207.5 MPa
답
τmax = 207.5 MPa
5.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 84.85 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((150 − 30)/2)² + 60²) = 84.85 MPa
답
τmax = 84.85 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 59.82 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 35 + −15·−0.5 + 20·0.866 = 59.82 MPa
답
σθ = 59.82 MPa
7.축 응력과 변형률
답: ε = 2956 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 65·1000/314.2 = 206.9 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 206.9/70000 = 0.002956 = 2956 µε
답
ε = 2956 µε
8.축 응력과 변형률
답: δ = 11.02 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 47.75 MPa
σ2 = 530.5 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 47.75·1000/117000 = 0.4081 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 530.5·2000/100000 = 10.61 mm
δ = δ1 + δ2 = 11.02 mm
답
δ = 11.02 mm
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 8.032 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·4000 = 4000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/4000² = 8032 N = 8.032 kN
답
Pcr = 8.032 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 35.25 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/7.5 = 140
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa
답
σcr = 35.25 MPa
11.기계 진동
답: fd = 1.392 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(15000/100) = 12.25 rad/s
fn = 12.25/(2π) = 1.949 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.949·√(1 − 0.7²) = 1.392 Hz
답
fd = 1.392 Hz
12.기계 진동
답: keq = 45 kN/m
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 25 + 20 = 45 kN/m
답
keq = 45 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design