기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

160 mm 풀리가 960 rpm으로 돌며 미끄러짐 4 %인 벨트로 500 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 960 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 500 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 12개)가 2900 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 40개)를 구동한다. 기어 C(잇수 12개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 16개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 2900 rpmA = 12B = 40C = 12D = 16

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

중공축이 토크 1000 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.75배로 하고, 전단 응력은 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0.75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.축의 비틀림어려움

중공축이 1500 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.6배로 하고, 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0.6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 시계 방향 30° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σ_y′을(를) 구하시오.

σ_x = 0 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = −30 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 500 mm이며 강체 판 사이에서 50 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 50 kN막대: Ø25 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 70 kN구간 1: Ø30 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 20 mm 다음 3주기 뒤에 최댓값 11.4 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 20 mmx₃ = 11.4 mmn = 3

ζ =

12.기계 진동어려움

10 kg 질량이 스프링 k₃ = 10 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 60 kN/m, k₂ = 5 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 10 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 294.9 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

960·160/500 = 307.2 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 307.2·0.96 = 294.9 rpm

답

n₂ = 294.9 rpm

2.기어와 기어열

답: n_out = 652.5 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 2900·12/40 = 870 rpm = n_C

2단

n_out = 870·12/16 = 652.5 rpm

답

n_out = 652.5 rpm

전체 기어비 = 4.444 : 1

3.축의 비틀림

답: d_o = 53.02 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·50·0.6836)) = 53.02 mm

d_i = 0.75·53.02 = 39.76 mm

답

d_o = 53.02 mm

속이 찬 축이라면 d = 46.7 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: d_o = 21.5 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 20000/157.1 = 127.3 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 127.3 N·m = 127324 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·127324/(π·75·0.8704)) = 21.5 mm

d_i = 0.6·21.5 = 12.9 mm

답

d_o = 21.5 mm

속이 찬 축이라면 d = 20.52 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: σ_y′ = 78.48 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σ_y′ = 35 − (−35)·0.5 − 30·(−0.866) = 78.48 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σ_x′ = −8.481 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 70 = σ_x + σ_y

답

σ_y′ = 78.48 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = −45 MPa

변환 식

σ_θ = −25 + −5·0 + −20·1 = −45 MPa

답

σ_θ = −45 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.03613 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·8482 = 6.919 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 50000·500/6.919 × 10⁸ = 0.03613 mm

답

δ = 0.03613 mm

8.축 응력과 변형률

답: δ = 6.685 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 99.03 MPa

σ₂ = 618.9 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 99.03·1000/200000 = 0.4951 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 618.9·1000/100000 = 6.189 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6.685 mm

답

δ = 6.685 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 19.9 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·2500 = 2500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/2500² = 19897 N = 19.9 kN

답

P_cr = 19.9 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 226.6 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/7.5 = 93.33

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/93.33² = 226.6 MPa

답

σ_cr = 226.6 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.02981

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/3)·ln(20/11.4) = 0.1874

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1874/√(39.48 + 0.03511) = 0.02981

답

ζ = 0.02981

12.기계 진동

답: f_n = 4.685 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 60 + 5 = 65 kN/m

k_eq = 65·10/(65 + 10) = 8.667 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(8667/10) = 29.44 rad/s

f_n = 29.44/(2π) = 4.685 Hz

답

f_n = 4.685 Hz

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