기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
160 mm 풀리가 960 rpm으로 돌며 미끄러짐 2 %인 벨트로 315 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n2을(를) 구하시오.
n1 = 960 rpmd1 = 160 mmd2 = 315 mms = 2 %
n2 = rpm
2.기어와 기어열어려움
유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 16개, 각 유성 기어의 잇수는 30개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 900 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 nc을(를) 구하시오.
Ns = 16Np = 30ns = 900 rpm
nc = rpm
3.축의 비틀림보통
비틀림 시험에서 지름 15 mm인 속이 찬 시편에 토크 100 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 250 mm의 양 끝이 서로 3.6° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.
T = 100 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 3.6°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
지름 40 mm인 속이 찬 황동 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1.2 m, B에서 2 m 떨어진 C에 토크 400 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 TA을(를) 구하시오.
d = 40 mmT0 = 400 N·ma = 1.2 mb = 2 m
TA = N·m
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = 20 MPa이다. 최대 주응력이 160 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?
σx = 120 MPaσy = 20 MPaσ1 = 160 MPa
τxy = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 50 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 45° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = 50 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPaθ = -45°
τθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 20 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 45 kN구간 1: Ø25 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 55 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 55 kNn = 3L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
강성 15 kN/m인 스프링에 달린 12 kg 질량에 감쇠비 0.4을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 12 kgk = 15 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.기계 진동어려움
25 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 15 kN/m, k₂ = 80 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 25 kgk1 = 15 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: n2 = 477.9 rpm
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
미끄러짐 없을 때의 속도
960·160/315 = 487.6 rpm
미끄러짐이 있을 때
n2 = 487.6·0.98 = 477.9 rpm
답
n2 = 477.9 rpm
2.기어와 기어열
답: nc = 156.5 rpm
유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.
링 기어 잇수
Nr = Ns + 2·Np = 16 + 2·30 = 76
링 고정일 때의 윌리스 식
nr = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.
(900 − nc)/(0 − nc) = −76/16
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 900·16/92 = 156.5 rpm
답
nc = 156.5 rpm
캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.
3.축의 비틀림
답: G = 80.06 GPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트와 각
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 3.6·π/180 = 0.06283 rad
전단 탄성 계수
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·250/(4970·0.06283) = 80056 MPa
G = 80.06 GPa
답
G = 80.06 GPa
비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.
4.축의 비틀림
답: TA = 250 N·m
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.
평형과 적합 조건
TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·2/3.2 = 250 N·m
TB = 400·1.2/3.2 = 150 N·m
답
TA = 250 N·m
5.모어 원과 응력 변환
답: τxy = 74.83 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
필요한 반지름
C = (120 + 20)/2 = 70 MPa
R = σ1 − C = 160 − 70 = 90 MPa
전단 응력
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 50²) = 74.83 MPa
답
τxy = 74.83 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: τθ = 15 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −15·−1 + 30·0 = 15 MPa
답
τθ = 15 MPa
7.축 응력과 변형률
답: ε = 141.5 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 20·1000/706.9 = 28.29 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 28.29/200000 = 0.0001415 = 141.5 µε
답
ε = 141.5 µε
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 397.9 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 91.67 MPa
σ2 = 397.9 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 397.9 MPa
답
σmax = 397.9 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 57.12 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·6000 = 6000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1.042 × 10⁶/6000² = 57116 N = 57.12 kN
답
Pcr = 57.12 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 57.52 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·55000 = 165000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 57.52 mm
답
d = 57.52 mm
확인: 세장비 KL/r는 104.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: fd = 5.157 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(15000/12) = 35.36 rad/s
fn = 35.36/(2π) = 5.627 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 5.627·√(1 − 0.4²) = 5.157 Hz
답
fd = 5.157 Hz
12.기계 진동
답: fn = 9.811 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 15 + 80 = 95 kN/m
고유 진동수
ωn = √(95000/25) = 61.64 rad/s
fn = 61.64/(2π) = 9.811 Hz
답
fn = 9.811 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design