기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
2900 rpm으로 도는 1.1 kW 모터가 잇수 20개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 48개인 기어와 맞물려 있다. 손실은 무시한다. 기어 축의 출력 토크 T2을(를) 구하시오.
P = 1.1 kWn1 = 2900 rpmN1 = 20N2 = 48η = 100%
T2 = N·m
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 32개)가 3000 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 60개)를 구동한다. 기어 C(잇수 15개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 18개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.
nin = 3000 rpmA = 32B = 60C = 15D = 18
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 200 N·md = 20 mmL = 2.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 알루미늄 축이 1000 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 1°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPaθallow = 1°/mG = 26 GPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = 0 MPaσy = 80 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
안지름 1500 mm, 벽 두께 5 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 0.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 55°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σn을(를) 구하시오.
D = 1500 mmt = 5 mmp = 0.5 MPaα = 55°
σn = MPa
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 70 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 200 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 120 GPa, 허용응력 80 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.
막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 60 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 60 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
강성 10 kN/m인 스프링에 달린 50 kg 질량에 감쇠비 0.6을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 50 kgk = 10 kN/mζ = 0.6
fd = Hz
12.기계 진동어려움
50 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 50 kN/m, k₂ = 25 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 50 kgk1 = 50 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: T2 = 8.693 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
모터 토크
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/303.7 = 3.622 N·m
출력 토크
T2 = 3.622·48/20·1 = 8.693 N·m
답
T2 = 8.693 N·m
2.기어와 기어열
답: nout = 1333 rpm
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
1단
nB = 3000·32/60 = 1600 rpm = nC
2단
nout = 1600·15/18 = 1333 rpm
답
nout = 1333 rpm
전체 기어비 = 2.25 : 1
3.축의 비틀림
답: φ = 22.8 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·15708) = 0.3979 rad
φ = 0.3979·180/π = 22.8°
답
φ = 22.8°
4.축의 비틀림
답: d = 63.32 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m
강도 기준 지름
T = 716.2 N·m = 716197 N·mm
dτ = ∛(16·716197/(π·40)) = 45.01 mm
강성 기준 지름
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·716197/(π·26000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 63.32 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(45.01, 63.32) = 63.32 mm
답
d = 63.32 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: θp = 61.85 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·60, 0 − 80) = 123.7°
요소에서의 각도
θp = 61.85°
답
θp = 61.85°
반시계 방향 각도가 양입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: σn = 49.84 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.
벽의 응력
r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 0.5·750/5 = 75 MPa
σa = pr/(2t) = 37.5 MPa
이음매 방향으로 변환
x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.
σn = 37.5·sin²55° + 75·cos²55° = 49.84 MPa
답
σn = 49.84 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 13.23 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 70·1000/113.1 = 618.9 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 618.9/117000 = 0.00529 = 5290 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.00529·2500 mm = 13.23 mm
답
δ = 13.23 mm
8.축 응력과 변형률
답: Pmax = 691.2 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·7461 = 1.037 × 10⁹ N
지배 변형률
ε = min(0.001, 0.0006667) = 0.0006667 (구리)
최대 하중
Pmax = 0.0006667·1.037 × 10⁹ = 691150 N = 691.2 kN
답
Pmax = 691.2 kN
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 6.218 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·5000 = 5000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/5000² = 6218 N = 6.218 kN
답
Pcr = 6.218 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 58.79 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·60000 = 180000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 58.79 mm
답
d = 58.79 mm
확인: 세장비 KL/r는 102.1이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: fd = 1.801 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(10000/50) = 14.14 rad/s
fn = 14.14/(2π) = 2.251 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.6²) = 1.801 Hz
답
fd = 1.801 Hz
12.기계 진동
답: fn = 6.164 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 50 + 25 = 75 kN/m
고유 진동수
ωn = √(75000/50) = 38.73 rad/s
fn = 38.73/(2π) = 6.164 Hz
답
fn = 6.164 Hz
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