기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
160 mm 풀리가 1450 rpm으로 돌며 미끄러짐 1.5 %인 벨트로 315 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n2을(를) 구하시오.
n1 = 1450 rpmd1 = 160 mmd2 = 315 mms = 1.5 %
n2 = rpm
2.기어와 기어열어려움
960 rpm의 5.5 kW 모터가 기어 A(잇수 30개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 32개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 18개)는 출력축의 기어 D(잇수 32개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 95%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.
P = 5.5 kWnin = 960 rpmA = 30B = 32C = 18D = 32ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 750 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 빈 축이 750 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 750 rpmdo = 60 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 160 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = 160 MPaσy = 100 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 10 MPa, τₓᵧ = −50 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 420 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.
σx = −80 MPaσy = 10 MPaτxy = −50 MPaσY = 420 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 알루미늄 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 60 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 50 kN구간 1: Ø30 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 2 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 3 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 140 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 140 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
강성 10 kN/m인 스프링에 달린 50 kg 질량에 감쇠비 0.45을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 50 kgk = 10 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.기계 진동어려움
50 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 60 kN/m, k₂ = 60 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 50 kgk1 = 60 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: n2 = 725.5 rpm
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
미끄러짐 없을 때의 속도
1450·160/315 = 736.5 rpm
미끄러짐이 있을 때
n2 = 736.5·0.985 = 725.5 rpm
답
n2 = 725.5 rpm
2.기어와 기어열
답: Tout = 93.63 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
출력 회전 속도
nout = 960·(30/32)·(18/32) = 506.3 rpm
ωout = 2π·506.3/60 = 53.01 rad/s
출력 동력과 토크
Pout = 5500·0.95² = 4964 W
Tout = Pout/ωout = 4964/53.01 = 93.63 N·m
답
Tout = 93.63 N·m
3.축의 비틀림
답: φ = 5.261 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(39000·251327) = 0.09182 rad
φ = 0.09182·180/π = 5.261°
답
φ = 5.261°
4.축의 비틀림
답: τmax = 24.02 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 75000/78.54 = 954.9 N·m
극관성 모멘트
J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴
최대 전단 응력
τmax = T·(do/2)/J = 954930·30/1.193 × 10⁶ = 24.02 MPa
답
τmax = 24.02 MPa
5.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 58.31 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((160 − 100)/2)² + 50²) = 58.31 MPa
답
τmax = 58.31 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: n = 3.122
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = −35 MPa, R = 67.27 MPa
σ1 = 32.27 MPa, σ2 = −102.3 MPa, σ3 = 0
트레스카
σmax − σmin = 134.5 MPa
n = 420/134.5 = 3.122
답
n = 3.122
n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.
7.축 응력과 변형률
답: δ = 10.91 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 60·1000/78.54 = 763.9 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 763.9/70000 = 0.01091 = 10913 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.01091·1000 mm = 10.91 mm
답
δ = 10.91 mm
8.축 응력과 변형률
답: δ = 5.482 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 70.74 MPa
σ2 = 442.1 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 70.74·1500/100000 = 1.061 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 442.1·2000/200000 = 4.421 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.482 mm
답
δ = 5.482 mm
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 143.2 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2100² = 143232 N = 143.2 kN
답
Pcr = 143.2 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 66.12 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·140000 = 420000 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 66.12 mm
답
d = 66.12 mm
확인: 세장비 KL/r는 127이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: fd = 2.01 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(10000/50) = 14.14 rad/s
fn = 14.14/(2π) = 2.251 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.45²) = 2.01 Hz
답
fd = 2.01 Hz
12.기계 진동
답: fn = 7.797 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 60 + 60 = 120 kN/m
고유 진동수
ωn = √(120000/50) = 48.99 rad/s
fn = 48.99/(2π) = 7.797 Hz
답
fn = 7.797 Hz
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