기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
N1​ = 40N2​ = 72

1500 rpm으로 도는 1.1 kW 모터가 잇수 40개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 72개인 기어와 맞물려 있다. 손실은 무시한다. 모터 축의 토크 T1을(를) 구하시오.

P = 1.1 kWn1 = 1500 rpmN1 = 40N2 = 72η = 100%
T1 = N·m
2.기어와 기어열어려움
d1​ = 160 mmd2​ = 500 mm2880 rpmC = 1000 mmT1​ = 1200 NT2​P = ?

평벨트가 2880 rpm의 160 mm 구동 풀리를 500 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 1000 mm입니다. 마찰계수는 0.35이고 긴장측 장력은 1200 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d1 = 160 mmn1 = 2880 rpmd2 = 500 mmC = 1000 mmμ = 0.35T1 = 1200 N
P = kW
3.축의 비틀림보통
d = ?T = 1000 N·mL = 0.8 m

길이 0.8 m인 속이 찬 황동 축이 토크 1000 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 0.5°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 1000 N·mL = 0.8 mG = 39 GPaφallow = 0.5°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
d = ?30 kW, 1450 rpm

속이 찬 황동 축이 1450 rpm에서 30 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.5°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 1450 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.5°/mG = 39 GPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 40σy​ = −80τxy​ = 50MPa

한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σx = 40 MPaσy = −80 MPaτxy = 50 MPa
θs = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
20°D = 400 mm, t = 8 mm, p = 2 MPap

안지름 400 mm, 벽 두께 8 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 20°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σn을(를) 구하시오.

D = 400 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 20°
σn = MPa
7.축 응력과 변형률보통
250 kNØ40120 GPaØ80/50600 mmδ = ?

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 50 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 250 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 250 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
30 kN12600 mm300 mmØ40Ø30σ2​ = ?

강철 구간(지름 40 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
PL = 4 m20 × 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 4 md = 25 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
k = 15 kN/mc = 80 N·s/mm = 40 kg

40 kg 질량이 강성 15 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 80 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 40 kgk = 15 kN/mc = 80 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 30k2​ = 20k3​ = 5m = 20 kg

20 kg 질량이 스프링 k₃ = 5 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 30 kN/m, k₂ = 20 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk1 = 30 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 5 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T1 = 7.003 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/157.1 = 7.003 N·m

답

T1 = 7.003 N·m
2.기어와 기어열

답: P = 18.09 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 2.8 rad

이완측 장력

eμθ = e0.98 = 2.664, T₂ = 1200/2.664 = 450.4 N

전력

P = (1200 − 450.4)·24.13 = 18.09 kW

답

P = 18.09 kW
3.축의 비틀림

답: d = 69.95 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·800/(39000·0.008727) = 2.351 × 10⁶ mm⁴

지름

d = (32J/π)1/4 = 69.95 mm

답

d = 69.95 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: d = 49.31 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 30000/151.8 = 197.6 N·m

강도 기준 지름

T = 197.6 N·m = 197572 N·mm
dτ = ∛(16·197572/(π·75)) = 23.76 mm

강성 기준 지름

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·197572/(π·39000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 49.31 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(23.76, 49.31) = 49.31 mm

답

d = 49.31 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θs = −25.1 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θs = 50/78.1 = 0.6402, sin 2θs = −60/78.1 = −0.7682
2θs = atan2(−60, 50) = −50.19°

요소에서의 각도

θs = −25.1°
검산: θs − θp = −25.1 − 19.9 = −45°

답

θs = −25.1°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σn = 47.08 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 2·200/8 = 50 MPa
σa = pr/(2t) = 25 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σn = 25·sin²20° + 50·cos²20° = 47.08 MPa

답

σn = 47.08 MPa
7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.2424 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6.189 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 250000·600/6.189 × 10⁸ = 0.2424 mm

답

δ = 0.2424 mm
8.축 응력과 변형률

답: σ2 = 11.99 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 70000·706.9/300 = 164934 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 30000·164934/583813 = 8475 N

응력

σ2 = 8475/706.9 = 11.99 MPa (압축)

답

σ2 = 11.99 MPa
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 2.303 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·4000 = 4000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/4000² = 2303 N = 2.303 kN

답

Pcr = 2.303 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 6.747 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/6.25 = 320

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6.747 MPa

답

σcr = 6.747 MPa
11.기계 진동

답: ζ = 0.05164

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·40) = 1549 N·s/m

감쇠비

ζ = c/cc = 80/1549 = 0.05164

답

ζ = 0.05164

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: fn = 2.399 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 30 + 20 = 50 kN/m
keq = 50·5/(50 + 5) = 4.545 kN/m

고유 진동수

ωn = √(4545/20) = 15.08 rad/s
fn = 15.08/(2π) = 2.399 Hz

답

fn = 2.399 Hz

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