기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
1450 rpm으로 도는 1.1 kW 모터가 잇수 25개, 모듈 2 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 Ft을(를) 구하시오.
P = 1.1 kWn = 1450 rpmN1 = 25m = 2 mm
Ft = N
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 30개)가 1500 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 50개)를 구동한다. 기어 C(잇수 15개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 36개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.
nin = 1500 rpmA = 30B = 50C = 15D = 36
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
단이 진 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 60 mm, 길이 3 m이고, 구간 BC는 지름 30 mm, 길이 1.5 m이다. 자유단 C에 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φC을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 200 N·md1 = 60 mm, L1 = 3 md2 = 30 mm, L2 = 1.5 mG = 26 GPa
φC = °
4.축의 비틀림어려움
중공축이 3000 rpm에서 30 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.8배로 하고, 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.
P = 30 kWN = 3000 rpmdi/do = 0.8τallow = 60 MPa
do = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 160 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = 60 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.
σx = 160 MPaσy = −80 MPaτxy = 60 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 350 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.
σx = 80 MPaσy = 120 MPaτxy = 30 MPaσY = 350 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
막대가 강철 구간(지름 25 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 300 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.25 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 100 kN구간 1: Ø30 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
강성 200 kN/m인 스프링에 달린 250 kg 질량에 감쇠비 0.6을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 250 kgk = 200 kN/mζ = 0.6
fd = Hz
12.기계 진동어려움
10 kg 질량이 스프링 k₃ = 5 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 100 kN/m, k₂ = 50 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 10 kgk1 = 100 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 5 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: Ft = 289.8 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
피니언의 토크
ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 1100/151.8 = 7.244 N·m
피치원 지름
d = m·N = 2·25 = 50 mm
접선력
Ft = 2T/d = 2·7.244/0.05 = 289.8 N
답
Ft = 289.8 N
2.기어와 기어열
답: nout = 375 rpm
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
1단
nB = 1500·30/50 = 900 rpm = nC
2단
nout = 900·15/36 = 375 rpm
답
nout = 375 rpm
전체 기어비 = 4 : 1
3.축의 비틀림
답: φC = 9.353 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J1 = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
각 구간의 비틀림각
T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 200000·3000/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.01814 rad
φBC = 200000·1500/(26000·79522) = 0.1451 rad
전체 비틀림각
φC = 0.01814 + 0.1451 = 0.1632 rad = 9.353°
답
φC = 9.353°
4.축의 비틀림
답: do = 23.94 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 30000/314.2 = 95.49 N·m
허용 응력에서 구한 바깥지름
T = 95.49 N·m = 95493 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·60·0.5904)) = 23.94 mm
di = 0.8·23.94 = 19.16 mm
답
do = 23.94 mm
속이 찬 축이라면 d = 20.09 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: τabs = 134.2 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.
면내 주응력
C = 40 MPa, R = √(120² + 60²) = 134.2 MPa
σ1 = 174.2 MPa, σ2 = −94.16 MPa, σz = 0
세 원 중 가장 큰 원
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(268.3, 174.2, 94.16)/2 = 134.2 MPa
답
τabs = 134.2 MPa
여기서는 σ₁과 σ₂의 부호가 반대이므로 면내 최댓값 R이 곧 절대 최댓값입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: n = 2.572
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = 100 MPa, R = 36.06 MPa
σ1 = 136.1 MPa, σ2 = 63.94 MPa, σ3 = 0
트레스카
σmax − σmin = 136.1 MPa
n = 350/136.1 = 2.572
답
n = 2.572
n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.
7.축 응력과 변형률
답: P = 48.68 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²
유연도
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·2827) = 1.061 × 10⁻⁶ mm/N
하중
P = 0.25/5.135 × 10⁻⁶ = 48682 N = 48.68 kN
답
P = 48.68 kN
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 318.3 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 141.5 MPa
σ2 = 318.3 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 318.3 MPa
답
σmax = 318.3 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 309 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1400² = 308975 N = 309 kN
답
Pcr = 309 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 179 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/20 = 105
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa
답
σcr = 179 MPa
11.기계 진동
답: fd = 3.601 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(200000/250) = 28.28 rad/s
fn = 28.28/(2π) = 4.502 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 4.502·√(1 − 0.6²) = 3.601 Hz
답
fd = 3.601 Hz
12.기계 진동
답: fn = 3.501 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.
k12 = 100 + 50 = 150 kN/m
keq = 150·5/(150 + 5) = 4.839 kN/m
고유 진동수
ωn = √(4839/10) = 22 rad/s
fn = 22/(2π) = 3.501 Hz
답
fn = 3.501 Hz
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