기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 100 mmd2​ = 250 mm960 rpmT1​ = 500 NT2​ = 150 NP = ?

벨트가 100 mm 구동 풀리 위를 960 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 500 N, 이완측 150 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d1 = 100 mmn1 = 960 rpmT1 = 500 NT2 = 150 N
P = kW
2.기어와 기어열어려움
A = 45B = 48C = 16D = 25

2900 rpm의 1.5 kW 모터가 기어 A(잇수 45개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 48개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 16개)는 출력축의 기어 D(잇수 25개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 97%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.

P = 1.5 kWnin = 2900 rpmA = 45B = 48C = 16D = 25ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
d1​ = 40 mmd2​ = 30 mmT = 400 N·mABC0.8 m0.5 m

단이 진 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 40 mm, 길이 0.8 m이고, 구간 BC는 지름 30 mm, 길이 0.5 m이다. 자유단 C에 토크 400 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φC을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 400 N·md1 = 40 mm, L1 = 0.8 md2 = 30 mm, L2 = 0.5 mG = 26 GPa
φC = °
4.축의 비틀림어려움
do​ = ?20 kW, 1500 rpm

중공축이 1500 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.5배로 하고, 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 1500 rpmdi/do = 0.5τallow = 75 MPa
do = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
σy​ = 100MPaτxy​ = ?

한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 100 MPa이다. 최대 주응력이 130 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σx = 0 MPaσy = 100 MPaσ1 = 130 MPa
τxy = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 80σy​ = 30τxy​ = −10MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = −10 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 420 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = 80 MPaσy = 30 MPaτxy = −10 MPaσY = 420 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
80 kNØ4070 GPaØ100/70300 mmδ = ?

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 80 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 80 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 30 mm알루미늄0.5 mØ 20 mm강철2 mP = 45 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 45 kN구간 1: Ø30 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø20 mm, 2 m, 강철 (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
PL = 5 md = 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 2.5 md = 50 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
tx20 mm3주기11.4 mm

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 20 mm 다음 3주기 뒤에 최댓값 11.4 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x0 = 20 mmx3 = 11.4 mmn = 3
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 100k2​ = 5k3​ = 80m = 20 kg

20 kg 질량이 스프링 k₃ = 80 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 100 kN/m, k₂ = 5 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk1 = 100 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 80 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 1.759 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 5.027 m/s

전력

P = (500 − 150)·5.027 = 1759 W = 1.759 kW

답

P = 1.759 kW
2.기어와 기어열

답: Tout = 7.746 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

nout = 2900·(45/48)·(16/25) = 1740 rpm
ωout = 2π·1740/60 = 182.2 rad/s

출력 동력과 토크

Pout = 1500·0.97² = 1411 W
Tout = Pout/ωout = 1411/182.2 = 7.746 N·m

답

Tout = 7.746 N·m
3.축의 비틀림

답: φC = 8.348 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J1 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 400 N·m = 400000 N·mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 400000·800/(26000·251327) = 0.04897 rad
φBC = 400000·500/(26000·79522) = 0.09673 rad

전체 비틀림각

φC = 0.04897 + 0.09673 = 0.1457 rad = 8.348°

답

φC = 8.348°
4.축의 비틀림

답: do = 20.97 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 20000/157.1 = 127.3 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 127.3 N·m = 127324 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·127324/(π·75·0.9375)) = 20.97 mm
di = 0.5·20.97 = 10.49 mm

답

do = 20.97 mm

속이 찬 축이라면 d = 20.52 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τxy = 62.45 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (0 + 100)/2 = 50 MPa
R = σ1 − C = 130 − 50 = 80 MPa
στxyCσ1​σ2​

전단 응력

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 50²) = 62.45 MPa

답

τxy = 62.45 MPa
6.모어 원과 응력 변환

답: n = 5.824

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 55 MPa, R = 26.93 MPa
σ1 = 81.93 MPa, σ2 = 28.07 MPa, σ3 = 0

폰 미제스

σvM = √(81.93² − 81.93·28.07 + 28.07²) = 72.11 MPa
n = 420/72.11 = 5.824

답

n = 5.824

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.04514 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·4006 = 5.317 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 80000·300/5.317 × 10⁸ = 0.04514 mm

답

δ = 0.04514 mm
8.축 응력과 변형률

답: σmax = 143.2 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 63.66 MPa
σ2 = 143.2 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 143.2 MPa

답

σmax = 143.2 MPa
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 4.395 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·5000 = 10000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/10000² = 4395 N = 4.395 kN

답

Pcr = 4.395 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 100.7 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/12.5 = 140

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa

답

σcr = 100.7 MPa
11.기계 진동

답: ζ = 0.02981

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/3)·ln(20/11.4) = 0.1874

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1874/√(39.48 + 0.03511) = 0.02981

답

ζ = 0.02981
12.기계 진동

답: fn = 7.583 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 100 + 5 = 105 kN/m
keq = 105·80/(105 + 80) = 45.41 kN/m

고유 진동수

ωn = √(45405/20) = 47.65 rad/s
fn = 47.65/(2π) = 7.583 Hz

답

fn = 7.583 Hz

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