기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1440 rpm의 0.75 kW 모터가 줄 수 4인 웜을 구동한다. 웜 휠의 잇수는 48개이고 구동 장치의 효율은 70%이다. 휠 축의 출력 토크 T_w을(를) 구하시오.

z = 4N_w = 48n = 1440 rpmP = 0.75 kWη = 70%

T_w = N·m

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 15개)가 3000 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 32개)를 구동한다. 기어 C(잇수 30개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 60개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 3000 rpmA = 15B = 32C = 30D = 60

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 300 rpm에서 100 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 35° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σ_y′을(를) 구하시오.

σ_x = 120 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). 폰 미제스 상당 응력 σ_vM을(를) 구하시오.

σ_x = −50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 50 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 70 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 70 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

200 kg 질량이 강성 80 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 4000 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 200 kgk = 80 kN/mc = 4000 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 80 kN/m, k₂ = 100 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T_w = 41.78 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

휠 속도

n_w = n·z/N_w = 1440·4/48 = 120 rpm

출력 토크

ω_w = 2π·120/60 = 12.57 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.7·750/12.57 = 41.78 N·m

답

T_w = 41.78 N·m

2.기어와 기어열

답: n_out = 703.1 rpm

1단

n_B = 3000·15/32 = 1406 rpm = n_C

2단

n_out = 1406·30/60 = 703.1 rpm

답

n_out = 703.1 rpm

전체 기어비 = 4.267 : 1

3.축의 비틀림

답: φ = 5.343 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(80000·251327) = 0.09325 rad

φ = 0.09325·180/π = 5.343°

답

φ = 5.343°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 170.7 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 100000/31.42 = 3183 N·m

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 3.183 × 10⁶·25/466269 = 170.7 MPa

답

τ_max = 170.7 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: σ_y′ = 44.85 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σ_y′ = 50 − 70·0.342 − (−20)·0.9397 = 44.85 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σ_x′ = 55.15 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 100 = σ_x + σ_y

답

σ_y′ = 44.85 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_vM = 52.92 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = −50 MPa, R = 10 MPa

σ₁ = −40 MPa, σ₂ = −60 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √((−40)² − (−40)·(−60) + (−60)²) = 52.92 MPa

답

σ_vM = 52.92 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.03131 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·7461 = 9.582 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 100000·300/9.582 × 10⁸ = 0.03131 mm

답

δ = 0.03131 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 13.84 MPa

강성

k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 100000·1257/500 = 251327 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 50000·251327/722566 = 17391 N

응력

σ₂ = 17391/1257 = 13.84 MPa (압축)

답

σ₂ = 13.84 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 71.19 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4200² = 71188 N = 71.19 kN

답

P_cr = 71.19 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 78.07 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 78.07 mm

답

d = 78.07 mm

확인: 세장비 KL/r는 153.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.5

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·200) = 8000 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 4000/8000 = 0.5

답

ζ = 0.5

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 9.549 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 100 = 180 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(180000/50) = 60 rad/s

f_n = 60/(2π) = 9.549 Hz

답

f_n = 9.549 Hz

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