기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

벨트가 150 mm 구동 풀리 위를 1440 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 600 N, 이완측 300 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 600 NT₂ = 300 N

P = kW

2.기어와 기어열어려움

1440 rpm의 4 kW 모터가 기어 A(잇수 25개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 50개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 12개)는 출력축의 기어 D(잇수 80개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 96%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 4 kWn_in = 1440 rpmA = 25B = 50C = 12D = 80η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 60 mm, 길이 3 m이고, 구간 BC는 지름 50 mm, 길이 1 m이다. 자유단 C에 토크 1500 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 1500 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 3 md₂ = 50 mm, L₂ = 1 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 알루미늄 축이 1500 rpm에서 10 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 80 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.75°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0.75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 시계 방향 20° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σ_y′을(를) 구하시오.

σ_x = 100 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

지름 20 mm인 속이 찬 축이 축방향 인장력 30 kN와(과) 토크 400 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ₁을(를) 구하시오.

d = 20 mmF = 30 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 알루미늄 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 30 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 80 kN구간 1: Ø25 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

강성 40 kN/m인 스프링에 달린 50 kg 질량에 감쇠비 0.4을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk = 40 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 40 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 50 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 3.393 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 11.31 m/s

전력

P = (600 − 300)·11.31 = 3393 W = 3.393 kW

답

P = 3.393 kW

2.기어와 기어열

답: T_out = 325.9 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

n_out = 1440·(25/50)·(12/80) = 108 rpm

ω_out = 2π·108/60 = 11.31 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 4000·0.96² = 3686 W

T_out = P_out/ω_out = 3686/11.31 = 325.9 N·m

답

T_out = 325.9 N·m

3.축의 비틀림

답: φ_C = 13.18 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1.5 × 10⁶·3000/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.136 rad

φ_BC = 1.5 × 10⁶·1000/(26000·613592) = 0.09402 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.136 + 0.09402 = 0.2301 rad = 13.18°

답

φ_C = 13.18°

4.축의 비틀림

답: d = 37.15 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 10000/157.1 = 63.66 N·m

강도 기준 지름

T = 63.66 N·m = 63662 N·mm

d_τ = ∛(16·63662/(π·80)) = 15.94 mm

강성 기준 지름

θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·63662/(π·26000·1.309 × 10⁻⁵))^1/4 = 37.15 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(15.94, 37.15) = 37.15 mm

답

d = 37.15 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: σ_y′ = −19.6 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σ_y′ = 25 − 75·0.766 − 20·(−0.6428) = −19.6 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σ_x′ = 69.6 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 50 = σ_x + σ_y

답

σ_y′ = −19.6 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ₁ = 306.8 MPa

표면의 응력

σ = F/A = 30000/(π·20²/4) = 30000/314.2 = 95.49 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·20³) = 254.6 MPa

모어 원

C = σ/2 = 47.75 MPa

R = √(47.75² + 254.6²) = 259.1 MPa

σ₁ = C + R = 306.8 MPa

σ₂ = C − R = −211.3 MPa

답

σ₁ = 306.8 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 13.64 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 30·1000/78.54 = 382 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 382/70000 = 0.005457 = 5457 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.005457·2500 mm = 13.64 mm

답

δ = 13.64 mm

8.축 응력과 변형률

답: δ = 3.154 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 163 MPa

σ₂ = 397.9 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 163·500/70000 = 1.164 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397.9·1000/200000 = 1.989 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3.154 mm

답

δ = 3.154 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 31.09 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/2000² = 31089 N = 31.09 kN

답

P_cr = 31.09 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 9.715 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7.5 = 266.7

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266.7² = 9.715 MPa

답

σ_cr = 9.715 MPa

11.기계 진동

답: f_d = 4.126 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(40000/50) = 28.28 rad/s

f_n = 28.28/(2π) = 4.502 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4.502·√(1 − 0.4²) = 4.126 Hz

답

f_d = 4.126 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 3.355 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/50 → k_eq = 40·50/(40 + 50) = 22.22 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(22222/50) = 21.08 rad/s

f_n = 21.08/(2π) = 3.355 Hz

답

f_n = 3.355 Hz

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