기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

벨트가 150 mm 구동 풀리 위를 720 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 1200 N, 이완측 300 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d₁ = 150 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 300 N

P = kW

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 2880 rpm의 120 mm 구동 풀리를 250 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 800 mm입니다. 마찰계수는 0.35이고 긴장측 장력은 800 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 120 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 250 mmC = 800 mmμ = 0.35T₁ = 800 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 15 mm인 속이 찬 시편에 토크 75 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 400 mm의 양 끝이 서로 8.87° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 75 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 8.87°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 1800 rpm에서 20 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = −10 MPa이다. 최대 주응력이 90 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 40 MPaσ_y = −10 MPaσ₁ = 90 MPa

τ_xy = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

지름 40 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 750 N·m와(과) 토크 1500 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ₁을(를) 구하시오.

d = 40 mmM = 750 N·mT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 300 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.4 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 40 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 65 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 65 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 30 mm 다음 4주기 뒤에 최댓값 4 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 30 mmx₄ = 4 mmn = 4

ζ =

12.기계 진동어려움

5 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 50 kN/m, k₂ = 20 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 5.089 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 5.655 m/s

전력

P = (1200 − 300)·5.655 = 5089 W = 5.089 kW

답

P = 5.089 kW

2.기어와 기어열

답: P = 9.373 kW

접촉각

θ = 2.979 rad

이완측 장력

e^μθ = e^1.043 = 2.837, T₂ = 800/2.837 = 282 N

전력

P = (800 − 282)·18.1 = 9.373 kW

답

P = 9.373 kW

3.축의 비틀림

답: G = 38.99 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 8.87·π/180 = 0.1548 rad

전단 탄성 계수

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·400/(4970·0.1548) = 38990 MPa

G = 38.99 GPa

답

G = 38.99 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 6.487 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 20000/188.5 = 106.1 N·m

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 106103·25/408885 = 6.487 MPa

답

τ_max = 6.487 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 70.71 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (40 + (−10))/2 = 15 MPa

R = σ₁ − C = 90 − 15 = 75 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 25²) = 70.71 MPa

답

τ_xy = 70.71 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ₁ = 193.1 MPa

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119.4 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·40³) = 119.4 MPa

모어 원

C = σ/2 = 59.68 MPa

R = √(59.68² + 119.4²) = 133.5 MPa

σ₁ = C + R = 193.1 MPa

σ₂ = C − R = −73.77 MPa

답

σ₁ = 193.1 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 42.17 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314.2) = 7.958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1963) = 1.528 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.4/9.486 × 10⁻⁶ = 42169 N = 42.17 kN

답

P = 42.17 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 11.31 MPa

강성

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 30000·376991/795870 = 14211 N

응력

σ₂ = 14211/1257 = 11.31 MPa (압축)

답

σ₂ = 11.31 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 9.922 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1250² = 9922 N = 9.922 kN

답

P_cr = 9.922 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 28.47 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 0.7·1000 = 700 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·700²/(π³·200000))^(1/4) = 28.47 mm

답

d = 28.47 mm

확인: 세장비 KL/r는 98.33이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.07991

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/4)·ln(30/4) = 0.5037

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5037/√(39.48 + 0.2537) = 0.07991

답

ζ = 0.07991

12.기계 진동

답: k_eq = 70 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 20 = 70 kN/m

답

k_eq = 70 kN/m

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