기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

2900 rpm으로 도는 4 kW 모터가 잇수 30개, 모듈 2.5 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 F_t을(를) 구하시오.

P = 4 kWn = 2900 rpmN₁ = 30m = 2.5 mm

F_t = N

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 15개)가 1500 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 16개)를 구동한다. 기어 C(잇수 15개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 40개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 1500 rpmA = 15B = 16C = 15D = 40

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 20 mm인 속이 찬 시편에 토크 20 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 300 mm의 양 끝이 서로 0.84° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 20 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 0.84°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

지름 40 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.8 m 떨어진 B에 토크 2000 N·m이(가), 거기서 0.8 m 더 떨어진 자유단 C에 반대 방향의 토크 250 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 40 mmT_B = 2000 N·mT_C = 250 N·mAB = 0.8 mBC = 0.8 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = −70 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 시계 방향 20° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σ_y′을(를) 구하시오.

σ_x = −70 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). 폰 미제스 상당 응력 σ_vM을(를) 구하시오.

σ_x = 130 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPa

σ_vM = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 120 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 115 kN구간 1: Ø35 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 125 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 125 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 15 mm 다음 4주기 뒤에 최댓값 5.5 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 15 mmx₄ = 5.5 mmn = 4

ζ =

12.기계 진동어려움

5 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 80 kN/m, k₂ = 80 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: F_t = 351.2 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

피니언의 토크

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T = P/ω = 4000/303.7 = 13.17 N·m

피치원 지름

d = m·N = 2.5·30 = 75 mm

접선력

F_t = 2T/d = 2·13.17/0.075 = 351.2 N

답

F_t = 351.2 N

2.기어와 기어열

답: n_out = 527.3 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 1500·15/16 = 1406 rpm = n_C

2단

n_out = 1406·15/40 = 527.3 rpm

답

n_out = 527.3 rpm

전체 기어비 = 2.844 : 1

3.축의 비틀림

답: G = 26.05 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0.84·π/180 = 0.01466 rad

전단 탄성 계수

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·300/(15708·0.01466) = 26054 MPa

G = 26.05 GPa

답

G = 26.05 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: φ_C = 3.42 °

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 2000 = −1750 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −1.75 × 10⁶·800/(80000·251327) = −0.06963 rad

φ_BC = 250000·800/(80000·251327) = 0.009947 rad

끝 C의 비틀림각

φ_C = −0.06963 + 0.009947 = −0.05968 rad → |φ_C| = 3.42°

답

φ_C = 3.42°

5.모어 원과 응력 변환

답: σ_y′ = −60.39 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σ_y′ = −50 − (−20)·0.766 − (−40)·(−0.6428) = −60.39 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σ_x′ = −39.61 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −100 = σ_x + σ_y

답

σ_y′ = −60.39 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_vM = 157.2 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 115 MPa, R = 61.85 MPa

σ₁ = 176.8 MPa, σ₂ = 53.15 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(176.8² − 176.8·53.15 + 53.15²) = 157.2 MPa

답

σ_vM = 157.2 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 49.6 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314.2) = 7.958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1963) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.5/1.008 × 10⁻⁵ = 49604 N = 49.6 kN

답

P = 49.6 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 572 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 119.5 MPa

σ₂ = 572 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 572 MPa

답

σ_max = 572 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 225 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1050² = 224989 N = 225 kN

답

P_cr = 225 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 58.67 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 58.67 mm

답

d = 58.67 mm

확인: 세장비 KL/r는 119.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.03989

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/4)·ln(15/5.5) = 0.2508

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2508/√(39.48 + 0.06291) = 0.03989

답

ζ = 0.03989

12.기계 진동

답: k_eq = 160 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 80 = 160 kN/m

답

k_eq = 160 kN/m

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