기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1450 rpm의 0.37 kW 모터가 줄 수 2인 웜을 구동한다. 웜 휠의 잇수는 36개이고 구동 장치의 효율은 75%이다. 휠 축의 출력 토크 T_w을(를) 구하시오.

z = 2N_w = 36n = 1450 rpmP = 0.37 kWη = 75%

T_w = N·m

2.기어와 기어열어려움

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 12개, 각 유성 기어의 잇수는 18개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 900 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 n_c을(를) 구하시오.

N_s = 12N_p = 18n_s = 900 rpm

n_c = rpm

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 15 mm인 속이 찬 시편에 토크 75 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 300 mm의 양 끝이 서로 6.65° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 75 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 6.65°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 750 rpm에서 20 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 750 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 0 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

지름 50 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 750 N·m와(과) 토크 400 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 50 mmM = 750 N·mT = 400 N·m

τ_max = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 300 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 300 kN막대: Ø25 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa, 허용응력 100 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

강성 40 kN/m인 스프링에 달린 10 kg 질량에 감쇠비 0.3을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 10 kgk = 40 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

5 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 80 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 30 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T_w = 32.9 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

휠 속도

n_w = n·z/N_w = 1450·2/36 = 80.56 rpm

출력 토크

ω_w = 2π·80.56/60 = 8.436 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.75·370/8.436 = 32.9 N·m

답

T_w = 32.9 N·m

2.기어와 기어열

답: n_c = 180 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·18 = 48

링 고정일 때의 윌리스 식

n_r = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −48/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·12/60 = 180 rpm

답

n_c = 180 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: G = 39 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 6.65·π/180 = 0.1161 rad

전단 탄성 계수

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·300/(4970·0.1161) = 39005 MPa

G = 39 GPa

답

G = 39 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 23.28 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 20000/78.54 = 254.6 N·m

극관성 모멘트

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 254648·20/218755 = 23.28 MPa

답

τ_max = 23.28 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 50 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((0 − −80)/2)² + 30²) = 50 MPa

답

τ_max = 50 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 34.63 MPa

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·50³) = 61.12 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·50³) = 16.3 MPa

모어 원

C = σ/2 = 30.56 MPa

R = √(30.56² + 16.3²) = 34.63 MPa

답

τ_max = 34.63 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.08727 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·8482 = 1.031 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 300000·300/1.031 × 10⁹ = 0.08727 mm

답

δ = 0.08727 mm

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 869.4 kN

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·8482 = 1.159 × 10⁹ N

지배 변형률

ε = min(0.00075, 0.0008333) = 0.00075 (강철)

최대 하중

P_max = 0.00075·1.159 × 10⁹ = 869436 N = 869.4 kN

답

P_max = 869.4 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 4.326 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1750² = 4326 N = 4.326 kN

답

P_cr = 4.326 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 197.4 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

답

σ_cr = 197.4 MPa

11.기계 진동

답: f_d = 9.602 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(40000/10) = 63.25 rad/s

f_n = 63.25/(2π) = 10.07 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10.07·√(1 − 0.3²) = 9.602 Hz

답

f_d = 9.602 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 10.51 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/30 → k_eq = 80·30/(80 + 30) = 21.82 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(21818/5) = 66.06 rad/s

f_n = 66.06/(2π) = 10.51 Hz

답

f_n = 10.51 Hz

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