기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

벨트가 100 mm 구동 풀리 위를 1440 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 400 N, 이완측 120 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d₁ = 100 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 400 NT₂ = 120 N

P = kW

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 24개)가 960 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 60개)를 구동한다. 기어 C(잇수 24개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 60개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 960 rpmA = 24B = 60C = 24D = 60

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 500 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 40 mm인 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 1.5 m 떨어진 B에 토크 1000 N·m이(가), 거기서 1.2 m 더 떨어진 자유단 C에 반대 방향의 토크 500 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 40 mmT_B = 1000 N·mT_C = 500 N·mAB = 1.5 mBC = 1.2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = 20 MPa이다. 최대 주응력이 70 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = −30 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 70 MPa

τ_xy = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 250 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 40 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 150 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 150 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa, 허용응력 120 MPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 110 GPa, 허용응력 60 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

2 kg 질량이 강성 4 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 40 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 2 kgk = 4 kN/mc = 40 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

5 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 100 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 30 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 2.111 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 7.54 m/s

전력

P = (400 − 120)·7.54 = 2111 W = 2.111 kW

답

P = 2.111 kW

2.기어와 기어열

답: n_out = 153.6 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 960·24/60 = 384 rpm = n_C

2단

n_out = 384·24/60 = 153.6 rpm

답

n_out = 153.6 rpm

전체 기어비 = 6.25 : 1

3.축의 비틀림

답: φ = 4.489 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(26000·613592) = 0.07835 rad

φ = 0.07835·180/π = 4.489°

답

φ = 4.489°

4.축의 비틀림

답: φ_C = 0.8768 °

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 1000 = −500 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −500000·1500/(39000·251327) = −0.07652 rad

φ_BC = 500000·1200/(39000·251327) = 0.06121 rad

끝 C의 비틀림각

φ_C = −0.07652 + 0.06121 = −0.0153 rad → |φ_C| = 0.8768°

답

φ_C = 0.8768°

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 70.71 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (−30 + 20)/2 = −5 MPa

R = σ₁ − C = 70 − (−5) = 75 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 25²) = 70.71 MPa

답

τ_xy = 70.71 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 2.282

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 75 MPa, R = 46.1 MPa

σ₁ = 121.1 MPa, σ₂ = 28.9 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(121.1² − 121.1·28.9 + 28.9²) = 109.5 MPa

n = 250/109.5 = 2.282

답

n = 2.282

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1546 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·4006 = 5.82 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 150000·600/5.82 × 10⁸ = 0.1546 mm

답

δ = 0.1546 mm

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 377.4 kN

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·4006 = 6.919 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.0006, 0.0005455) = 0.0005455 (청동)

최대 하중

P_max = 0.0005455·6.919 × 10⁸ = 377420 N = 377.4 kN

답

P_max = 377.4 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 48.83 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·1500 = 750 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/750² = 48835 N = 48.83 kN

답

P_cr = 48.83 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 12.69 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/7.5 = 233.3

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/233.3² = 12.69 MPa

답

σ_cr = 12.69 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.2236

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·2) = 178.9 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 40/178.9 = 0.2236

답

ζ = 0.2236

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 10.81 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/30 → k_eq = 100·30/(100 + 30) = 23.08 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(23077/5) = 67.94 rad/s

f_n = 67.94/(2π) = 10.81 Hz

답

f_n = 10.81 Hz

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