기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

160 mm 풀리가 1450 rpm으로 돌며 미끄러짐 3 %인 벨트로 250 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 250 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 12개, 각 유성 기어의 잇수는 20개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 1440 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 n_c을(를) 구하시오.

N_s = 12N_p = 20n_s = 1440 rpm

n_c = rpm

3.축의 비틀림보통

길이 1.2 m인 속이 찬 황동 축이 토크 750 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 2°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 750 N·mL = 1.2 mG = 39 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.축의 비틀림어려움

중공축이 750 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.5배로 하고, 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0.5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 90 MPa이다. 최대 주응력이 140 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 0 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 140 MPa

τ_xy = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = −70 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 100 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 200 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 200 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa, 허용응력 250 MPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 70 GPa, 허용응력 50 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

8 kg 질량이 강성 100 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 360 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 8 kgk = 100 kN/mc = 360 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

100 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 25 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 10 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 900.2 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

1450·160/250 = 928 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 928·0.97 = 900.2 rpm

답

n₂ = 900.2 rpm

2.기어와 기어열

답: n_c = 270 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·20 = 52

링 고정일 때의 윌리스 식

n_r = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(1440 − n_c)/(0 − n_c) = −52/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1440·12/64 = 270 rpm

답

n_c = 270 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: d = 50.94 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1.2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·1200/(39000·0.03491) = 661105 mm⁴

지름

d = (32J/π)^1/4 = 50.94 mm

답

d = 50.94 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: d_o = 28.46 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 20000/78.54 = 254.6 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 254.6 N·m = 254648 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·254648/(π·60·0.9375)) = 28.46 mm

d_i = 0.5·28.46 = 14.23 mm

답

d_o = 28.46 mm

속이 찬 축이라면 d = 27.86 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 83.67 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (0 + 90)/2 = 45 MPa

R = σ₁ − C = 140 − 45 = 95 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 45²) = 83.67 MPa

답

τ_xy = 83.67 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 45 MPa

변환 식

σ_θ = 15 + 85·0 + 30·1 = 45 MPa

답

σ_θ = 45 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1216 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·2199 = 4.932 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 200000·300/4.932 × 10⁸ = 0.1216 mm

답

δ = 0.1216 mm

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 552.6 kN

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·7461 = 7.736 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.00125, 0.0007143) = 0.0007143 (알루미늄)

최대 하중

P_max = 0.0007143·7.736 × 10⁸ = 552584 N = 552.6 kN

답

P_max = 552.6 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 34.88 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·3000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34.88 kN

답

P_cr = 34.88 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 35.25 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12.5 = 140

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa

답

σ_cr = 35.25 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.2012

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·8) = 1789 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 360/1789 = 0.2012

답

ζ = 0.2012

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: k_eq = 7.143 kN/m

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/10 → k_eq = 25·10/(25 + 10) = 7.143 kN/m

답

k_eq = 7.143 kN/m

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