기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

벨트가 120 mm 구동 풀리 위를 720 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 1200 N, 이완측 600 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d₁ = 120 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 600 N

P = kW

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 1450 rpm의 125 mm 구동 풀리를 300 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 500 mm입니다. 마찰계수는 0.25이고 긴장측 장력은 2000 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 300 mmC = 500 mmμ = 0.25T₁ = 2000 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 15 mm인 속이 찬 시편에 토크 100 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 250 mm의 양 끝이 서로 11.08° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 100 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 11.08°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 3000 rpm에서 30 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 3000 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 140 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 350 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 160 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 200 mm, E = 70 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.2 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 100 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

강성 8 kN/m인 스프링에 달린 40 kg 질량에 감쇠비 0.6을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 40 kgk = 8 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 30 kN/m, k₂ = 80 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 2.714 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 4.524 m/s

전력

P = (1200 − 600)·4.524 = 2714 W = 2.714 kW

답

P = 2.714 kW

2.기어와 기어열

답: P = 9.531 kW

접촉각

θ = 2.79 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.6974 = 2.009, T₂ = 2000/2.009 = 995.7 N

전력

P = (2000 − 995.7)·9.49 = 9.531 kW

답

P = 9.531 kW

3.축의 비틀림

답: G = 26.01 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 11.08·π/180 = 0.1934 rad

전단 탄성 계수

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·250/(4970·0.1934) = 26011 MPa

G = 26.01 GPa

답

G = 26.01 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 3.294 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 30000/314.2 = 95.49 N·m

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·30/869767 = 3.294 MPa

답

τ_max = 3.294 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 73.54 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 80 MPa, R = √(60² + 30²) = 67.08 MPa

σ₁ = 147.1 MPa, σ₂ = 12.92 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(134.2, 147.1, 12.92)/2 = 73.54 MPa

답

τ_abs = 73.54 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 2.36

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 125 MPa, R = 46.1 MPa

σ₁ = 171.1 MPa, σ₂ = 78.9 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(171.1² − 171.1·78.9 + 78.9²) = 148.3 MPa

n = 350/148.3 = 2.36

답

n = 2.36

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: P = 19.22 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706.9) = 4.042 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.2/1.041 × 10⁻⁵ = 19216 N = 19.22 kN

답

P = 19.22 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 26.46 MPa

강성

k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 100000·622035/831475 = 74811 N

응력

σ₂ = 74811/2827 = 26.46 MPa (압축)

답

σ₂ = 26.46 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 10.49 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/3500² = 10491 N = 10.49 kN

답

P_cr = 10.49 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 39.34 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/6.25 = 224

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/224² = 39.34 MPa

답

σ_cr = 39.34 MPa

11.기계 진동

답: f_d = 1.801 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(8000/40) = 14.14 rad/s

f_n = 14.14/(2π) = 2.251 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.6²) = 1.801 Hz

답

f_d = 1.801 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 7.465 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 80 = 110 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(110000/50) = 46.9 rad/s

f_n = 46.9/(2π) = 7.465 Hz

답

f_n = 7.465 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design