기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

2900 rpm으로 도는 11 kW 모터가 잇수 15개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 72개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 96%이다. 모터 축의 토크 T₁을(를) 구하시오.

P = 11 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 15N₂ = 72η = 96%

T₁ = N·m

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 1440 rpm의 160 mm 구동 풀리를 200 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 1200 mm입니다. 마찰계수는 0.25이고 긴장측 장력은 1500 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 160 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 200 mmC = 1200 mmμ = 0.25T₁ = 1500 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 15 mm인 속이 찬 시편에 토크 30 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 200 mm의 양 끝이 서로 0.86° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 30 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 0.86°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

지름 40 mm인 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 2.5 m 떨어진 B에 토크 250 N·m이(가), 거기서 0.5 m 더 떨어진 자유단 C에 반대 방향의 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 40 mmT_B = 250 N·mT_C = 200 N·mAB = 2.5 mBC = 0.5 m

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = −70 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = −60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 130 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 15° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 130 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 25 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 400 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.25 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 50 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 65 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 65 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 20 mm 다음 3주기 뒤에 최댓값 7.8 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 20 mmx₃ = 7.8 mmn = 3

ζ =

12.기계 진동어려움

10 kg 질량이 스프링 k₃ = 12 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 30 kN/m, k₂ = 20 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 10 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₁ = 36.22 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/303.7 = 36.22 N·m

답

T₁ = 36.22 N·m

2.기어와 기어열

답: P = 9.776 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 3.108 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.7771 = 2.175, T₂ = 1500/2.175 = 689.6 N

전력

P = (1500 − 689.6)·12.06 = 9.776 kW

답

P = 9.776 kW

3.축의 비틀림

답: G = 80.43 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 0.86·π/180 = 0.01501 rad

전단 탄성 계수

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·200/(4970·0.01501) = 80429 MPa

G = 80.43 GPa

답

G = 80.43 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 15.92 MPa

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 250 = −50 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|_max = 200 N·m

τ_max = 16·200000/(π·40³) = 15.92 MPa

답

τ_max = 15.92 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 40.31 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((−60 − −70)/2)² + 40²) = 40.31 MPa

답

τ_max = 40.31 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 130.6 MPa

변환 식

σ_θ = 60 + 70·0.866 + 20·0.5 = 130.6 MPa

답

σ_θ = 130.6 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 45.54 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·2827) = 1.415 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.25/5.489 × 10⁻⁶ = 45545 N = 45.54 kN

답

P = 45.54 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 31.16 MPa

강성

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 70000·706.9/500 = 98960 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 50000·98960/224624 = 22028 N

응력

σ₂ = 22028/706.9 = 31.16 MPa (압축)

답

σ₂ = 31.16 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 10.15 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/3500² = 10152 N = 10.15 kN

답

P_cr = 10.15 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 54.58 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·65000 = 195000 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 54.58 mm

답

d = 54.58 mm

확인: 세장비 KL/r는 153.9이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.04989

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/3)·ln(20/7.8) = 0.3139

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3139/√(39.48 + 0.09851) = 0.04989

답

ζ = 0.04989

12.기계 진동

답: f_n = 4.951 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 30 + 20 = 50 kN/m

k_eq = 50·12/(50 + 12) = 9.677 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(9677/10) = 31.11 rad/s

f_n = 31.11/(2π) = 4.951 Hz

답

f_n = 4.951 Hz

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