기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 67.5 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 2.5 mm, 감속비 2 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 기어의 잇수 N₂은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 67.5 mmm = 2.5 mmi = 2

N₂ =

2.기어와 기어열어려움

960 rpm의 1.1 kW 모터가 기어 A(잇수 60개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 72개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 32개)는 출력축의 기어 D(잇수 50개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 96%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 1.1 kWn_in = 960 rpmA = 60B = 72C = 32D = 50η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.축의 비틀림보통

강철 중공축(바깥지름 60 mm, 안지름 42 mm, 길이 2.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 500 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 500 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 2.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 1000 rpm에서 100 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = −30 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 50 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 400 mm, 벽 두께 6 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 35°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σ_n을(를) 구하시오.

D = 400 mmt = 6 mmp = 2 MPaα = 35°

σ_n = MPa

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 15 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 400 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

150 kg 질량이 강성 50 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 440 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 150 kgk = 50 kN/mc = 440 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

5 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 60 kN/m, k₂ = 5 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N₂ = 36

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·67.5/2.5 = 54

비율로 나누기

N₁ = 54/(1 + 2) = 18

N₂ = 2·18 = 36

답

N₂ = 36

2.기어와 기어열

답: T_out = 18.91 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

n_out = 960·(60/72)·(32/50) = 512 rpm

ω_out = 2π·512/60 = 53.62 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 1100·0.96² = 1014 W

T_out = P_out/ω_out = 1014/53.62 = 18.91 N·m

답

T_out = 18.91 N·m

3.축의 비틀림

답: φ = 0.9259 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

비틀림각

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·2500/(80000·966855) = 0.01616 rad

φ = 0.01616·180/π = 0.9259°

답

φ = 0.9259°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 12.34 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 100000/104.7 = 954.9 N·m

극관성 모멘트

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2.902 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·37.5/2.902 × 10⁶ = 12.34 MPa

답

τ_max = 12.34 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 42.71 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 55 MPa, R = √((−5)² + (−30)²) = 30.41 MPa

σ₁ = 85.41 MPa, σ₂ = 24.59 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(60.83, 85.41, 24.59)/2 = 42.71 MPa

답

τ_abs = 42.71 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_n = 55.7 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2·200/6 = 66.67 MPa

σ_a = pr/(2t) = 33.33 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σ_n = 33.33·sin²35° + 66.67·cos²35° = 55.7 MPa

답

σ_n = 55.7 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.3183 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 15·1000/706.9 = 21.22 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 21.22/200000 = 0.0001061 = 106.1 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.0001061·3000 mm = 0.3183 mm

답

δ = 0.3183 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 12.8 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 30000·539961/644681 = 25127 N

응력

σ₂ = 25127/1963 = 12.8 MPa (압축)

답

σ₂ = 12.8 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 2.35 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2800² = 2350 N = 2.35 kN

답

P_cr = 2.35 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 4.371 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/6.25 = 672

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/672² = 4.371 MPa

답

σ_cr = 4.371 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.08033

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·150) = 5477 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 440/5477 = 0.08033

답

ζ = 0.08033

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 18.15 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 5 = 65 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(65000/5) = 114 rad/s

f_n = 114/(2π) = 18.15 Hz

답

f_n = 18.15 Hz

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