기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 100 mmd2​ = 200 mm1500 rpmT1​ = 1200 NT2​ = 360 NP = ?

벨트가 100 mm 구동 풀리 위를 1500 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 1200 N, 이완측 360 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d1 = 100 mmn1 = 1500 rpmT1 = 1200 NT2 = 360 N
P = kW
2.기어와 기어열어려움
d1​ = 100 mmd2​ = 315 mm2880 rpmC = 500 mmθ = ?

평벨트가 100 mm 풀리와 315 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 500 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.

d1 = 100 mmd2 = 315 mmC = 500 mm
θ = °
3.축의 비틀림보통
T = 750 N·md = 40 mmL = 2.5 mφ = ?

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Tdo​ = 80 mm, di​ = 56 mm

속이 빈 축이 500 rpm에서 15 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 500 rpmdo = 80 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 40σy​ = −60τxy​ = −60MPa

한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σx = 40 MPaσy = −60 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​τxy​축의 윗면

지름 40 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 750 N·m와(과) 토크 200 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.

d = 40 mmM = 750 N·mT = 200 N·m
σ1 = MPa
7.축 응력과 변형률보통
150 kNØ30120 GPaØ120/60800 mmδ = ?

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 150 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 150 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 25 mm황동0.5 mØ 16 mm알루미늄2 mP = 35 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 35 kN구간 1: Ø25 mm, 0.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø16 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 3 m20 × 40 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 60 kNL = 5 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 60 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 60 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
k = 1 kN/mζ = 0.7m = 5 kg

강성 1 kN/m인 스프링에 달린 5 kg 질량에 감쇠비 0.7을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk = 1 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.기계 진동어려움
k1​ = 40k2​ = 5m = 10 kg

10 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 40 kN/m, k₂ = 5 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 10 kgk1 = 40 kN/mk2 = 5 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 6.597 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 7.854 m/s

전력

P = (1200 − 360)·7.854 = 6597 W = 6.597 kW

답

P = 6.597 kW
2.기어와 기어열

답: θ = 155.2 °

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 각도

asin(0.215) = 12.42°

접촉각

θ = 180 − 2·12.42 = 155.2°

답

θ = 155.2°
3.축의 비틀림

답: φ = 16.44 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(26000·251327) = 0.2869 rad
φ = 0.2869·180/π = 16.44°

답

φ = 16.44°
4.축의 비틀림

답: τmax = 3.75 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m

극관성 모멘트

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3.056 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τmax = T·(do/2)/J = 286479·40/3.056 × 10⁶ = 3.75 MPa

답

τmax = 3.75 MPa
5.모어 원과 응력 변환

답: θs = −70.1 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θs = −60/78.1 = −0.7682, sin 2θs = −50/78.1 = −0.6402
2θs = atan2(−50, −60) = −140.2°

요소에서의 각도

θs = −70.1°
검산: θs − θp = −70.1 − (−25.1) = −45°

답

θs = −70.1°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ1 = 121.5 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119.4 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·40³) = 15.92 MPa
στxyCσ1​σ2​

모어 원

C = σ/2 = 59.68 MPa
R = √(59.68² + 15.92²) = 61.77 MPa
σ1 = C + R = 121.5 MPa
σ2 = C − R = −2.086 MPa

답

σ1 = 121.5 MPa
7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1035 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·8482 = 1.159 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 150000·800/1.159 × 10⁹ = 0.1035 mm

답

δ = 0.1035 mm
8.축 응력과 변형률

답: δ = 5.33 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 71.3 MPa
σ2 = 174.1 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 71.3·500/100000 = 0.3565 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 174.1·2000/70000 = 4.974 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.33 mm

답

δ = 5.33 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 4.178 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2100² = 4178 N = 4.178 kN

답

Pcr = 4.178 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 55.77 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·60000 = 150000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 55.77 mm

답

d = 55.77 mm

확인: 세장비 KL/r는 179.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: fd = 1.607 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ωn = √(1000/5) = 14.14 rad/s
fn = 14.14/(2π) = 2.251 Hz

감쇠 고유 진동수

fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.7²) = 1.607 Hz

답

fd = 1.607 Hz
12.기계 진동

답: fn = 10.68 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.

keq = 40 + 5 = 45 kN/m

고유 진동수

ωn = √(45000/10) = 67.08 rad/s
fn = 67.08/(2π) = 10.68 Hz

답

fn = 10.68 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design