기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

120 mm 풀리가 2880 rpm으로 돌며 미끄러짐 2 %인 벨트로 315 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 315 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

960 rpm의 1.5 kW 모터가 기어 A(잇수 15개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 16개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 18개)는 출력축의 기어 D(잇수 48개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 95%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 1.5 kWn_in = 960 rpmA = 15B = 16C = 18D = 48η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 50 mm, 길이 1 m이고, 구간 BC는 지름 40 mm, 길이 0.8 m이다. 자유단 C에 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 200 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1 md₂ = 40 mm, L₂ = 0.8 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 1800 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 10 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = 10 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

지름 60 mm인 속이 찬 축이 축방향 압축력 170 kN와(과) 토크 2000 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ₁을(를) 구하시오.

d = 60 mmF = −170 kNT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 250 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 250 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 90 kN구간 1: Ø25 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

강성 40 kN/m인 스프링에 달린 5 kg 질량에 감쇠비 0.45을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk = 40 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 스프링 k₃ = 10 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 100 kN/m, k₂ = 5 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 1075 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

2880·120/315 = 1097 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 1097·0.98 = 1075 rpm

답

n₂ = 1075 rpm

2.기어와 기어열

답: T_out = 38.3 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

n_out = 960·(15/16)·(18/48) = 337.5 rpm

ω_out = 2π·337.5/60 = 35.34 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 1500·0.95² = 1354 W

T_out = P_out/ω_out = 1354/35.34 = 38.3 N·m

답

T_out = 38.3 N·m

3.축의 비틀림

답: φ_C = 0.6894 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 200000·1000/(80000·613592) = 0.004074 rad

φ_BC = 200000·800/(80000·251327) = 0.007958 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.004074 + 0.007958 = 0.01203 rad = 0.6894°

답

φ_C = 0.6894°

4.축의 비틀림

답: d = 18.9 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 20000/188.5 = 106.1 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·80)) = 18.9 mm

답

d = 18.9 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = 61.85 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = −20/36.06 = −0.5547, sin 2θ_s = −(−30)/36.06 = 0.8321

2θ_s = atan2(30, −20) = 123.7°

요소에서의 각도

θ_s = 61.85°

검산: θ_s − θ_p = 61.85 − (−73.15) = 135°

답

θ_s = 61.85°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ₁ = 25.86 MPa

표면의 응력

σ = F/A = −170000/(π·60²/4) = −170000/2827 = −60.13 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47.16 MPa

모어 원

C = σ/2 = −30.06 MPa

R = √((−30.06)² + 47.16²) = 55.92 MPa

σ₁ = C + R = 25.86 MPa

σ₂ = C − R = −85.99 MPa

답

σ₁ = 25.86 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.2585 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·7461 = 7.736 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 250000·800/7.736 × 10⁸ = 0.2585 mm

답

δ = 0.2585 mm

8.축 응력과 변형률

답: δ = 7.802 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 183.3 MPa

σ₂ = 795.8 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 183.3·1000/100000 = 1.833 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 795.8·1500/200000 = 5.968 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7.802 mm

답

δ = 7.802 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 73.69 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·2000 = 2000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/2000² = 73693 N = 73.69 kN

답

P_cr = 73.69 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 24.87 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/7.5 = 166.7

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166.7² = 24.87 MPa

답

σ_cr = 24.87 MPa

11.기계 진동

답: f_d = 12.71 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(40000/5) = 89.44 rad/s

f_n = 89.44/(2π) = 14.24 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 14.24·√(1 − 0.45²) = 12.71 Hz

답

f_d = 12.71 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 2.151 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 100 + 5 = 105 kN/m

k_eq = 105·10/(105 + 10) = 9.13 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(9130/50) = 13.51 rad/s

f_n = 13.51/(2π) = 2.151 Hz

답

f_n = 2.151 Hz

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