기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 112.5 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 5 mm, 감속비 2 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 기어의 잇수 N₂은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 112.5 mmm = 5 mmi = 2

N₂ =

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 50개)가 1500 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 80개)를 구동한다. 기어 C(잇수 20개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 32개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 1500 rpmA = 50B = 80C = 20D = 32

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 50 mm, 길이 3 m이고, 구간 BC는 지름 40 mm, 길이 1.2 m이다. 자유단 C에 토크 1500 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 1500 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 3 md₂ = 40 mm, L₂ = 1.2 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

중공축이 750 rpm에서 75 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.5배로 하고, 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

P = 75 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0.5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = −20 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = −20 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 150 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 15° 회전한 면의 전단 응력 τ_θ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σ_x = 150 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 25 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa, 허용응력 250 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa, 허용응력 70 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 85 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 85 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 20 mm 다음 2주기 뒤에 최댓값 15.6 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 20 mmx₂ = 15.6 mmn = 2

ζ =

12.기계 진동어려움

40 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 15 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 5 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: N₂ = 30

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·112.5/5 = 45

비율로 나누기

N₁ = 45/(1 + 2) = 15

N₂ = 2·15 = 30

답

N₂ = 30

2.기어와 기어열

답: n_out = 585.9 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 1500·50/80 = 937.5 rpm = n_C

2단

n_out = 937.5·20/32 = 585.9 rpm

답

n_out = 585.9 rpm

전체 기어비 = 2.56 : 1

3.축의 비틀림

답: φ_C = 21.3 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1.5 × 10⁶·3000/(39000·613592) = 0.188 rad

φ_BC = 1.5 × 10⁶·1200/(39000·251327) = 0.1836 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.188 + 0.1836 = 0.3717 rad = 21.3°

답

φ_C = 21.3°

4.축의 비틀림

답: d_o = 44.22 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 75000/78.54 = 954.9 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 954.9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·60·0.9375)) = 44.22 mm

d_i = 0.5·44.22 = 22.11 mm

답

d_o = 44.22 mm

속이 찬 축이라면 d = 43.28 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = 69.41 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = −40/53.15 = −0.7526, sin 2θ_s = −(−35)/53.15 = 0.6585

2θ_s = atan2(35, −40) = 138.8°

요소에서의 각도

θ_s = 69.41°

검산: θ_s − θ_p = 69.41 − (−65.59) = 135°

답

θ_s = 69.41°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: τ_θ = −47.14 MPa

변환 식

τ_θ = −25·0.5 + −40·0.866 = −47.14 MPa

답

τ_θ = −47.14 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 63.03 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·706.9) = 3.858 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.5/7.933 × 10⁻⁶ = 63030 N = 63.03 kN

답

P = 63.03 kN

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 651 kN

넓이

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·8482 = 1.116 × 10⁹ N

지배 변형률

ε = min(0.00125, 0.0005833) = 0.0005833 (구리)

최대 하중

P_max = 0.0005833·1.116 × 10⁹ = 651030 N = 651 kN

답

P_max = 651 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 12.56 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12.56 kN

답

P_cr = 12.56 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 57.54 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 57.54 mm

답

d = 57.54 mm

확인: 세장비 KL/r는 173.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.01977

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/2)·ln(20/15.6) = 0.1242

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1242/√(39.48 + 0.01543) = 0.01977

답

ζ = 0.01977

12.기계 진동

답: k_eq = 3.75 kN/m

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/5 → k_eq = 15·5/(15 + 5) = 3.75 kN/m

답

k_eq = 3.75 kN/m

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