기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

2900 rpm의 0.37 kW 모터가 줄 수 4인 웜을 구동한다. 웜 휠의 잇수는 36개이고 구동 장치의 효율은 75%이다. 휠 축의 출력 토크 T_w을(를) 구하시오.

z = 4N_w = 36n = 2900 rpmP = 0.37 kWη = 75%

T_w = N·m

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 100 mm 풀리와 315 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 1200 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.

d₁ = 100 mmd₂ = 315 mmC = 1200 mm

θ = °

3.축의 비틀림보통

황동 중공축(바깥지름 75 mm, 안지름 53 mm, 길이 1.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 2000 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 2000 N·md_o = 75 mmd_i = 53 mmL = 1.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 50 mm인 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 1.5 m 떨어진 B에 토크 100 N·m이(가), 거기서 2.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 250 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 250 N·mAB = 1.5 mBC = 2.5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 150 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = −50 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = 150 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 400 mm, 벽 두께 6 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 25°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σ_n을(를) 구하시오.

D = 400 mmt = 6 mmp = 1 MPaα = 25°

σ_n = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 200 mm, E = 70 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 25 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 300 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 50 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

80 kg 질량이 강성 80 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 3040 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 80 kgk = 80 kN/mc = 3040 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 20 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 100 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: T_w = 8.224 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

휠 속도

n_w = n·z/N_w = 2900·4/36 = 322.2 rpm

출력 토크

ω_w = 2π·322.2/60 = 33.74 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.75·370/33.74 = 8.224 N·m

답

T_w = 8.224 N·m

2.기어와 기어열

답: θ = 169.7 °

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 각도

asin(0.08958) = 5.14°

접촉각

θ = 180 − 2·5.14 = 169.7°

답

θ = 169.7°

3.축의 비틀림

답: φ = 1.89 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴

비틀림각

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1500/(39000·2.332 × 10⁶) = 0.03299 rad

φ = 0.03299·180/π = 1.89°

답

φ = 1.89°

4.축의 비틀림

답: φ_C = 4.13 °

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 100 = 350 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 350000·1500/(26000·613592) = 0.03291 rad

φ_BC = 250000·2500/(26000·613592) = 0.03918 rad

끝 C의 비틀림각

φ_C = 0.03291 + 0.03918 = 0.07208 rad → |φ_C| = 4.13°

답

φ_C = 4.13°

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = −58.28 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = −50/111.8 = −0.4472, sin 2θ_s = −100/111.8 = −0.8944

2θ_s = atan2(−100, −50) = −116.6°

요소에서의 각도

θ_s = −58.28°

검산: θ_s − θ_p = −58.28 − (−13.28) = −45°

답

θ_s = −58.28°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_n = 30.36 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 1·200/6 = 33.33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 16.67 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σ_n = 16.67·sin²25° + 33.33·cos²25° = 30.36 MPa

답

σ_n = 30.36 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 130.2 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·2827) = 1.011 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.5/3.84 × 10⁻⁶ = 130211 N = 130.2 kN

답

P = 130.2 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 15.45 MPa

강성

k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·2827/300 = 1.131 × 10⁶ N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 50000·1.131 × 10⁶/1.295 × 10⁶ = 43680 N

응력

σ₂ = 43680/2827 = 15.45 MPa (압축)

답

σ₂ = 15.45 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 3.454 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·3000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/6000² = 3454 N = 3.454 kN

답

P_cr = 3.454 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 55.08 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/12.5 = 112

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55.08 MPa

답

σ_cr = 55.08 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.6008

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·80) = 5060 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 3040/5060 = 0.6008

답

ζ = 0.6008

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: k_eq = 16.67 kN/m

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/100 → k_eq = 20·100/(20 + 100) = 16.67 kN/m

답

k_eq = 16.67 kN/m

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