재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 55 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 25 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 200 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 1450 rpm에서 50 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 1450 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

55 kN @ 3 m12 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.전단력과 휨 모멘트어려움

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

45 kN @ 0 m40 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 150 mm, 두께 14 mm이고, 전체 높이는 420 mm, 웨브 두께는 6 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 150 kN·m을(를) 받는다. 단면의 최대 휨 응력 크기 σ_max을(를) 구하시오.

B = 150 mmH = 420 mmt_f = 14 mmt_w = 6 mmM = 150 kN·m

σ_max = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = −60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 50 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 460 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 50 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.보의 처짐보통

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

P = 4 kNw = 15 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.보의 처짐어려움

단순보의 3등분점(각 지점에서 L/3)에 같은 집중 하중 P 두 개가 작용한다. 중첩을 이용해 경간 중앙의 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

P = 25 kNL = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 90 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 90 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 1.167 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 55·1000/706.9 = 77.81 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 77.81/100000 = 0.0007781 = 778.1 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.0007781·1500 mm = 1.167 mm

답

δ = 1.167 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 25.55 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 70000·706.9/200 = 247400 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 30000·247400/411025 = 18057 N

응력

σ₂ = 18057/706.9 = 25.55 MPa (압축)

답

σ₂ = 25.55 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 6.755 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(80000·79522) = 0.1179 rad

φ = 0.1179·180/π = 6.755°

답

φ = 6.755°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 13.15 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 50000/151.8 = 329.3 N·m

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 329286·30/751193 = 13.15 MPa

답

τ_max = 13.15 MPa

5.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 3 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 63.5 kN, R₂ = 63.5 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 57.5, M_C = 103, M_D = 136.5 kN·m, M_E = 103, M_F = 57.5, M_G = 0

답

표시점 D: M_D = 136.5 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 4 m)

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 33.33 kN, R₂ = 51.67 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = −45, M_C = −56.67, M_D = −68.33, M_E = −80 kN·m, M_F = −40, M_G = 0

답

표시점 E: M_E = −80 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 101.9 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

웨브: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·315 + 4200·150)/10800 = 250.8 mm

평행축 정리

플랜지: 220·30³/12 + 6600·(315 − 250.8)² = 2.767 × 10⁷ mm⁴

웨브: 14·300³/12 + 4200·(150 − 250.8)² = 7.42 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.767 × 10⁷ + 7.42 × 10⁷ = 1.019 × 10⁸ mm⁴ = 101.9 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 101.9 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_max = 155 MPa

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − t_w), 높이 h_w = H − 2t_f이며, 축 x를 공유합니다.

h_w = 420 − 2·14 = 392 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·420³ − 144·392³)/12

I_x = 2.033 × 10⁸ mm⁴

휨 응력

y = 210 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁸·210/2.033 × 10⁸ = 155 MPa

답

σ_max = 155 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 77.62 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((−60 − 90)/2)² + 20²) = 77.62 MPa

답

τ_max = 77.62 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: n = 6.379

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 10 MPa, R = 41.23 MPa

σ₁ = 51.23 MPa, σ₂ = −31.23 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(51.23² − 51.23·(−31.23) + (−31.23)²) = 72.11 MPa

n = 460/72.11 = 6.379

답

n = 6.379

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

11.보의 처짐

답: δ = 10.6 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 4000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δ_P = PL³/(3EI) = 4000·1500³/(3·1.32 × 10¹²) = 3.409 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·1.32 × 10¹²) = 7.191 mm

더하기

δ = 3.409 + 7.191 = 10.6 mm

답

δ = 10.6 mm

12.보의 처짐

답: δ_max = 76.06 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 25000 N, L = 6000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

L/3의 하중 하나

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm

δ₁ = 38.03 mm

두 하중 더하기

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 76.06 mm

답

δ_max = 76.06 mm

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 154.3 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/3000² = 154342 N = 154.3 kN

답

P_cr = 154.3 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 67.14 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·90000 = 225000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 67.14 mm

답

d = 67.14 mm

확인: 세장비 KL/r는 104.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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