축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 45 kNd = 20 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 40 kN구간 1: Ø25 mm, 0.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 250 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 750 rpm에서 75 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 750 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
단순보의 A에서 x = 2 m인 곳에 시계 방향 우력 M0 = 60 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 오른쪽의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mM0 = 60 kN·m 시계 방향, 위치 2 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mP = 20 kN 위치 4 mw = 8 kN/m, 0부터 8 m까지x = 2.5 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 200 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
120 mm × 240 mm 판에 폭 50 mm, 높이 20 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 144 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 240 mm절취부: 50 × 20 mm구멍 중심: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = −70 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 25° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.
σx = −70 MPaσy = 90 MPaτxy = 50 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
지름 40 mm인 속이 찬 축이 축방향 인장력 70 kN와(과) 토크 1000 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.
d = 40 mmF = 70 kNT = 1000 N·m
σ1 = MPa
11.보의 처짐보통
길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 1 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단 B의 처짐 δB을(를) 구하시오.
P = 12 kNa = 1 mL = 2.5 mE = 200 GPa (강철)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.보의 처짐어려움
단순보의 지점 B에서 b = 1.5 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 보의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
P = 26 kNb = 1.5 mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 15 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 15 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 2046 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 45·1000/314.2 = 143.2 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 143.2/70000 = 0.002046 = 2046 µε
답
ε = 2046 µε
2.축 응력과 변형률
답: δ = 2.899 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 81.49 MPa
σ2 = 198.9 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 81.49·500/117000 = 0.3482 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 198.9·1500/117000 = 2.551 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.899 mm
답
δ = 2.899 mm
3.축의 비틀림
답: φ = 1.496 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(39000·613592) = 0.02612 rad
φ = 0.02612·180/π = 1.496°
답
φ = 1.496°
4.축의 비틀림
답: d = 45.99 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 75000/78.54 = 954.9 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·50)) = 45.99 mm
답
d = 45.99 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 30 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.
지점 반력
A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: RB·L − M0 = 0. 연직 평형: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 60/4 = 15 kN (위쪽)
RA = −RB = −15 kN (아래쪽)
우력 바로 오른쪽에서 자른다
이제 왼쪽 부분에는 RA와 우력이 포함됩니다.
Mx = RA·a + M0 = −15·2 + 60 = 30 kN·m
답
Mx = 30 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 80 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·4 + 8·8·4
RB = 336/8 = 42 kN
ΣFy = 0: RA = 84 − 42 = 42 kN
x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 42·2.5 − 8·2.5·1.25 = 80 kN·m
답
Mx = 80 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 18.28 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 200·25 = 5000 mm², yf = 160 + 25/2 = 172.5 mm
웨브: Aw = 14·160 = 2240 mm², yw = 160/2 = 80 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5000·172.5 + 2240·80)/7240 = 143.9 mm
평행축 정리
플랜지: 200·25³/12 + 5000·(172.5 − 143.9)² = 4.356 × 10⁶ mm⁴
웨브: 14·160³/12 + 2240·(80 − 143.9)² = 1.392 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.356 × 10⁶ + 1.392 × 10⁷ = 1.828 × 10⁷ mm⁴ = 18.28 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 18.28 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 137.6 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (28800·120 − 1000·144)/(28800 − 1000) = 119.1 mm
ȳ에 대한 전체 판
120·240³/12 + 28800·0.8633² = 138.3 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
50·20³/12 + 1000·24.86² = 0.6515 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 137.6 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 137.6 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: σy′ = 23.12 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
y′ 면의 변환 공식
σy′ = 10 − (−80)·0.6428 − 50·0.766 = 23.12 MPa
검산
수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.
σx′ = −3.121 MPa, σx′ + σy′ = 20 = σx + σy
답
σy′ = 23.12 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σ1 = 112.2 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = 70000/(π·40²/4) = 70000/1257 = 55.7 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79.58 MPa
모어 원
C = σ/2 = 27.85 MPa
R = √(27.85² + 79.58²) = 84.31 MPa
σ1 = C + R = 112.2 MPa
σ2 = C − R = −56.46 MPa
답
σ1 = 112.2 MPa
11.보의 처짐
답: δB = 1.806 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 12000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²
자유단의 처짐
하중 위치의 처짐 더하기 하중 위치의 처짐각 × 나머지 길이.
δP = Pa³/(3EI) = 0.5556 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.0008333 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1.806 mm
답
δB = 1.806 mm
12.보의 처짐
답: δmax = 1.697 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 26000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²
최댓값의 위치
더 긴 구간에서 처짐각을 0으로 두면 위치가 나옵니다.
x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm
최대 처짐
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 1.697 mm
답
δmax = 1.697 mm
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 8.883 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·2500 = 5000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/5000² = 8883 N = 8.883 kN
답
Pcr = 8.883 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 28.89 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2·15000 = 30000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 28.89 mm
답
d = 28.89 mm
확인: 세장비 KL/r는 207.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials