축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 200 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.4 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.축 응력과 변형률어려움
강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa, 허용응력 120 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 50 mm, E = 100 GPa, 허용응력 50 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.
막대: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa관: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
비틀림 시험에서 지름 10 mm인 속이 찬 시편에 토크 20 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 250 mm의 양 끝이 서로 3.65° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.
T = 20 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 3.65°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 강철 축이 750 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.25°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 750 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0.25°/mG = 80 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 0.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mw = 4 kN/m, 0부터 8 m까지x = 0.5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 6 mw = 16 kN/m, 0부터 5 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
200 mm × 300 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 30 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 120 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 200 mmh = 300 mmd = 30 mm구멍 중심: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 140 × 20 mm, 웨브는 높이 360 mm, 두께 14 mm, 하부 플랜지는 230 × 10 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
상부 플랜지: 140 × 20 mm웨브: 14 × 360 mm하부 플랜지: 230 × 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −50 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = −50 MPaσy = 90 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = −40 MPa (σz = 0). 폰 미제스 상당 응력 σvM을(를) 구하시오.
σx = 40 MPaσy = 80 MPaτxy = −40 MPa
σvM = MPa
11.보의 처짐보통
캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.
w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 8 kN/mL = 8 mE = 11 GPa (구조용 목재)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 65 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 65 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: P = 56.55 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 706.9 mm²
유연도
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
하중
P = 0.4/7.074 × 10⁻⁶ = 56549 N = 56.55 kN
답
P = 56.55 kN
2.축 응력과 변형률
답: Pmax = 202.2 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·3063 = 4.045 × 10⁸ N
지배 변형률
ε = min(0.0006, 0.0005) = 0.0005 (황동)
최대 하중
Pmax = 0.0005·4.045 × 10⁸ = 202240 N = 202.2 kN
답
Pmax = 202.2 kN
3.축의 비틀림
답: G = 79.95 GPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트와 각
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 3.65·π/180 = 0.0637 rad
전단 탄성 계수
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·250/(981.7·0.0637) = 79947 MPa
G = 79.95 GPa
답
G = 79.95 GPa
비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.
4.축의 비틀림
답: d = 72.66 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 75000/78.54 = 954.9 N·m
강도 기준 지름
T = 954.9 N·m = 954930 N·mm
dτ = ∛(16·954930/(π·60)) = 43.28 mm
강성 기준 지름
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·954930/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 72.66 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(43.28, 72.66) = 72.66 mm
답
d = 72.66 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 7.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·8·4
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
x = 0.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 16·0.5 − 4·0.5·0.25 = 7.5 kN·m
답
Mx = 7.5 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 68.06 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 16·5 = 80 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 16·5·2.5
RB = 200/6 = 33.33 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 33.33 = 46.67 kN
전단력 0
전단력은 RA에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 46.67/16 = 2.917 m
최대 모멘트
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 46.67·2.917 − 16·2.917²/2 = 68.06 kN·m
답
Mmax = 68.06 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 449.3 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (60000·150 − 706.9·120)/(60000 − 706.9) = 150.4 mm
ȳ에 대한 전체 판
200·300³/12 + 60000·−0.3576² = 450 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·30⁴/64 + 706.9·−30.36² = 0.6912 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 449.3 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 449.3 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 233.2 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
세 개의 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
상부 플랜지: A = 2800 mm², y = 380 mm
웨브: A = 5040 mm², y = 190 mm
하부 플랜지: A = 2300 mm², y = 5 mm
도심
ȳ = (2800·380 + 5040·190 + 2300·5)/10140 = 200.5 mm
평행축 정리
상부 플랜지: 140·20³/12 + 2800·179.5² = 9.031 × 10⁷ mm⁴
웨브: 14·360³/12 + 5040·10.5² = 5.499 × 10⁷ mm⁴
하부 플랜지: 230·10³/12 + 2300·195.5² = 8.793 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.031 × 10⁷ + 5.499 × 10⁷ + 8.793 × 10⁷
Ix = 2.332 × 10⁸ mm⁴ = 233.2 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 233.2 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 80.62 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((−50 − 90)/2)² + 40²) = 80.62 MPa
답
τmax = 80.62 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σvM = 97.98 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = 60 MPa, R = 44.72 MPa
σ1 = 104.7 MPa, σ2 = 15.28 MPa, σ3 = 0
폰 미제스
σvM = √(104.7² − 104.7·15.28 + 15.28²) = 97.98 MPa
답
σvM = 97.98 MPa
11.보의 처짐
답: δ = 34.27 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
처짐
δ = wL⁴/(8EI) = 5·5000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 34.27 mm
답
δ = 34.27 mm
12.보의 처짐
답: Ireq = 1745 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·8000⁴/(384·11000·22.22) = 1.745 × 10⁹ mm⁴
Ireq = 1745 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 1745 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 86.82 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·4000 = 4000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86.82 kN
답
Pcr = 86.82 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 49.32 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 49.32 mm
답
d = 49.32 mm
확인: 세장비 KL/r는 170.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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