축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 500 mm이며 강체 판 사이에서 250 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.
P = 250 kN막대: Ø25 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 90 kN구간 1: Ø40 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 400 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 황동 축이 1000 rpm에서 20 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.75°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 6.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 10 mw = 5 kN/m, 0부터 10 m까지x = 6.5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mP = 20 kN 위치 1 mw = 3 kN/m, 0부터 8 m까지x = 1 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 200 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 10 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.
bf = 220 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 300 mmM = 10 kN·m
σ위 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −40 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = −40 MPaσy = 40 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 20° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = 120 MPaσy = −30 MPaτxy = −30 MPaθ = -20°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.
w = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 고정단의 휨 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.
L = 6 mw = 5 kN/m
MA = kN·m
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 35 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 35 kNn = 2.5L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 0.232 mm
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·4006 = 5.388 × 10⁸ N
줄어든 길이
δ = 250000·500/5.388 × 10⁸ = 0.232 mm
답
δ = 0.232 mm
2.축 응력과 변형률
답: δ = 7.162 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 71.62 MPa
σ2 = 286.5 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 71.62·1000/70000 = 1.023 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 286.5·1500/70000 = 6.139 mm
δ = δ1 + δ2 = 7.162 mm
답
δ = 7.162 mm
3.축의 비틀림
답: φ = 1.368 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(80000·251327) = 0.02387 rad
φ = 0.02387·180/π = 1.368°
답
φ = 1.368°
4.축의 비틀림
답: d = 44.18 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m
강도 기준 지름
T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·75)) = 23.49 mm
강성 기준 지름
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·190986/(π·39000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 44.18 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(23.49, 44.18) = 44.18 mm
답
d = 44.18 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 56.88 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
x = 6.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 25·6.5 − 5·6.5·3.25 = 56.88 kN·m
답
Mx = 56.88 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 28 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·1 + 3·8·4
RB = 116/8 = 14.5 kN
ΣFy = 0: RA = 44 − 14.5 = 29.5 kN
x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 29.5·1 − 3·1·0.5 = 28 kN·m
답
Mx = 28 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 8.318 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 200·25 = 5000 mm², yf = 140 + 25/2 = 152.5 mm
웨브: Aw = 8·140 = 1120 mm², yw = 140/2 = 70 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5000·152.5 + 1120·70)/6120 = 137.4 mm
평행축 정리
플랜지: 200·25³/12 + 5000·(152.5 − 137.4)² = 1.4 × 10⁶ mm⁴
웨브: 8·140³/12 + 1120·(70 − 137.4)² = 6.918 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.4 × 10⁶ + 6.918 × 10⁶ = 8.318 × 10⁶ mm⁴ = 8.318 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 8.318 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ위 = 11.92 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 220·15 = 3300 mm², yf = 300 + 15/2 = 307.5 mm
웨브: Aw = 16·300 = 4800 mm², yw = 300/2 = 150 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3300·307.5 + 4800·150)/8100 = 214.2 mm
평행축 정리
플랜지: 220·15³/12 + 3300·(307.5 − 214.2)² = 2.881 × 10⁷ mm⁴
웨브: 16·300³/12 + 4800·(150 − 214.2)² = 5.576 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.881 × 10⁷ + 5.576 × 10⁷ = 8.457 × 10⁷ mm⁴
휨 응력
위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.
y = 315 − 214.2 = 100.8 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·100.8/8.457 × 10⁷ = 11.92 MPa
답
σ위 = 11.92 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: θp = −76.72 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·−20, −40 − 40) = −153.4°
요소에서의 각도
θp = −76.72°
답
θp = −76.72°
반시계 방향 각도가 양입니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: τθ = 25.23 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −75·−0.6428 + −30·0.766 = 25.23 MPa
답
τθ = 25.23 MPa
11.보의 처짐
답: δ = 9.091 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 6 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
처짐
δ = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·1.32 × 10¹²) = 9.091 mm
답
δ = 9.091 mm
12.보의 처짐
답: MA = 22.5 kN·m
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).
받침 제거
받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.
δload = wL⁴/(8EI)
받침에서의 적합 조건
받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·6/8 = 11.25 kN
고정단의 모멘트
하중과 받침력의 A에 대한 모멘트.
MA = wL²/2 − RB·L = 90 − 67.5 = 22.5 kN·m
답
MA = 22.5 kN·m
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 16.79 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/3500² = 16785 N = 16.79 kN
답
Pcr = 16.79 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 138.8 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·35000 = 87500 N
KL = 2·6000 = 12000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 138.8 mm
답
d = 138.8 mm
확인: 세장비 KL/r는 345.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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