재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
P = ?12400 mm300 mmØ30Ø40δ = 0.3 mm

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 25 mm구리2 mØ 16 mm황동1.5 mP = 80 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 80 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
d1​ = 75 mmd2​ = 40 mmT = 500 N·mABC0.8 m1.2 m

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 75 mm, 길이 0.8 m이고, 구간 BC는 지름 40 mm, 길이 1.2 m이다. 자유단 C에 토크 500 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φC을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 500 N·md1 = 75 mm, L1 = 0.8 md2 = 40 mm, L2 = 1.2 mG = 80 GPa
φC = °
4.축의 비틀림어려움
d = 50 mmT0​ = 750 N·mACBa = 0.5 mb = 0.8 m

지름 50 mm인 속이 찬 황동 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 0.5 m, B에서 0.8 m 떨어진 C에 토크 750 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 TA을(를) 구하시오.

d = 50 mmT0 = 750 N·ma = 0.5 mb = 0.8 m
TA = N·m
5.전단력과 휨 모멘트보통
30 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

30 kN @ 10 m40 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 12 kN/mP = 10 kNAB단면2.5 m2.5 m

지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mP = 10 kN 위치 2.5 mw = 12 kN/m, 0부터 5 m까지x = 2.5 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
110200186x치수 단위: mm

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 110 mm, 두께 18 mm이고, 전체 높이는 200 mm, 웨브 두께는 6 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

B = 110 mmH = 200 mmtf = 18 mmtw = 6 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
100 mm200 mm120 mm60 × 30xIx​ = ?

100 mm × 200 mm 판에 폭 60 mm, 높이 30 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 120 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 100 mmh = 200 mm절취부: 60 × 30 mm구멍 중심: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 70τxy​ = −40MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 0 MPa, τₓᵧ = −40 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σx = 70 MPaσy = 0 MPaτxy = −40 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
60°D = 500 mm, t = 8 mm, p = 1.2 MPap

안지름 500 mm, 벽 두께 8 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1.2 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 60°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σn을(를) 구하시오.

D = 500 mmt = 8 mmp = 1.2 MPaα = 60°
σn = MPa
11.보의 처짐보통
w = 10 kN/mδL = 3 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (강철)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
w = 15 kN/mP = 30 kNδL = 1.5 m

단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δmax을(를) 구하시오.

P = 30 kNw = 15 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
PL = 2 md = 40 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 1 md = 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: P = 60 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1257) = 2.17 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.3/5 × 10⁻⁶ = 60003 N = 60 kN

답

P = 60 kN
2.축 응력과 변형률

답: δ = 8.754 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 163 MPa
σ2 = 397.9 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 163·2000/117000 = 2.786 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 397.9·1500/100000 = 5.968 mm
δ = δ1 + δ2 = 8.754 mm

답

δ = 8.754 mm
3.축의 비틀림

답: φC = 1.802 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J1 = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 500 N·m = 500000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 500000·800/(80000·3.106 × 10⁶) = 0.00161 rad
φBC = 500000·1200/(80000·251327) = 0.02984 rad

전체 비틀림각

φC = 0.00161 + 0.02984 = 0.03145 rad = 1.802°

답

φC = 1.802°
4.축의 비틀림

답: TA = 461.5 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·0.8/1.3 = 461.5 N·m
TB = 750·0.5/1.3 = 288.5 N·m

답

TA = 461.5 N·m
5.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 18.33 kN, R2 = 51.67 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 36.67, MC = 73.33, MD = 110, ME = 146.7 kN·m, MF = 103.3, MG = 0

답

표시점 E: ME = 146.7 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 50 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·2.5 + 12·5·2.5
RB = 175/5 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 35 = 35 kN
w = 12 kN/mP = 10 kNABRA​ = 35RB​ = 35단면2.5 m2.5 m

x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 35·2.5 − 12·2.5·1.25 = 50 kN·m

답

Mx = 50 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 35.11 × 10⁶ mm⁴

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.

hw = 200 − 2·18 = 164 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (110·200³ − 104·164³)/12
Ix = 3.511 × 10⁷ mm⁴ = 35.11 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 35.11 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 65.74 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (20000·100 − 1800·120)/(20000 − 1800) = 98.02 mm

ȳ에 대한 전체 판

100·200³/12 + 20000·1.978² = 66.74 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

60·30³/12 + 1800·21.98² = 1.004 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 65.74 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 65.74 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환

답: τabs = 53.15 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

στxyCσ1​σ2​

면내 주응력

C = 35 MPa, R = √(35² + (−40)²) = 53.15 MPa
σ1 = 88.15 MPa, σ2 = −18.15 MPa, σz = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(106.3, 88.15, 18.15)/2 = 53.15 MPa

답

τabs = 53.15 MPa

여기서는 σ₁과 σ₂의 부호가 반대이므로 면내 최댓값 R이 곧 절대 최댓값입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σn = 23.44 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 1.2·250/8 = 37.5 MPa
σa = pr/(2t) = 18.75 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σn = 18.75·sin²60° + 37.5·cos²60° = 23.44 MPa

답

σn = 23.44 MPa
11.보의 처짐

답: δ = 6.027 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 6.027 mm

답

δ = 6.027 mm
12.보의 처짐

답: δmax = 1.924 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 30000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δP = PL³/(48EI) = 30000·1500³/(48·1.61 × 10¹²) = 1.31 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·1500⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 0.6141 mm

더하기

δmax = 1.31 + 0.6141 = 1.924 mm

답

δmax = 1.924 mm
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 21.7 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·2000 = 2000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21.7 kN

답

Pcr = 21.7 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 69.09 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/20 = 100

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

답

σcr = 69.09 MPa

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