재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 20 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 50 kN구간 1: Ø40 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.축의 비틀림보통

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 200 N·md = 50 mmL = 0.8 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 30 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.8 m 떨어진 B에 토크 1500 N·m이(가), 거기서 3 m 더 떨어진 자유단 C에 반대 방향의 토크 500 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 30 mmT_B = 1500 N·mT_C = 500 N·mAB = 0.8 mBC = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

15 kN @ 3 m10 kN/m, 2–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 3.5 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mP = 55 kN 위치 4.5 mw = 8 kN/m, 0부터 6 m까지x = 3.5 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

속이 빈 직사각형(상자형) 단면의 바깥 폭은 B = 260 mm, 바깥 높이는 H = 400 mm, 균일한 벽 두께는 t = 14 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.

B = 260 mmH = 400 mmt = 14 mm

r = mm

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 15 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ_위의 크기를 구하시오.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mmM = 15 kN·m

σ_위 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 20 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

지름 40 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 500 N·m와(과) 토크 400 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ₁을(를) 구하시오.

d = 40 mmM = 500 N·mT = 400 N·m

σ₁ = MPa

11.보의 처짐보통

길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 1 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δ_P을(를) 구하시오.

P = 11 kNa = 1 mL = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 I_req을(를) 구하시오.

w = 12 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.5659 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 20·1000/706.9 = 28.29 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 28.29/100000 = 0.0002829 = 282.9 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.0002829·2000 mm = 0.5659 mm

답

δ = 0.5659 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ_max = 442.1 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 39.79 MPa

σ₂ = 442.1 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 442.1 MPa

답

σ_max = 442.1 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 0.5746 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(26000·613592) = 0.01003 rad

φ = 0.01003·180/π = 0.5746°

답

φ = 0.5746°

4.축의 비틀림

답: φ_C = 6.304 °

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 1500 = −1000 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −1 × 10⁶·800/(80000·79522) = −0.1258 rad

φ_BC = 500000·3000/(80000·79522) = 0.2358 rad

끝 C의 비틀림각

φ_C = −0.1258 + 0.2358 = 0.11 rad → |φ_C| = 6.304°

답

φ_C = 6.304°

5.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 3 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 20 kN, R₂ = 25 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 20, M_C = 40, M_D = 55 kN·m, M_E = 45, M_F = 25, M_G = 0

답

표시점 D: M_D = 55 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 83.13 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, 작용점 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·4.5 + 8·6·3

R_B = 391.5/6 = 65.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 103 − 65.25 = 37.75 kN

x = 3.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 37.75·3.5 − 8·3.5·1.75 = 83.13 kN·m

답

M_x = 83.13 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: r = 148.7 mm

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = I_c + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.

순단면적과 단면 2차 모멘트

b = 232 mm, h = 372 mm

A = BH − bh = 260·400 − 232·372 = 17696 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 3.914 × 10⁸ mm⁴

회전 반지름

r = √(I/A) = √(3.914 × 10⁸/17696) = 148.7 mm

답

r = 148.7 mm

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_위 = 99.79 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

웨브: A_w = 8·100 = 800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·110 + 800·50)/4400 = 99.09 mm

평행축 정리

플랜지: 180·20³/12 + 3600·(110 − 99.09)² = 548430 mm⁴

웨브: 8·100³/12 + 800·(50 − 99.09)² = 2.595 × 10⁶ mm⁴

I_x = 548430 + 2.595 × 10⁶ = 3.143 × 10⁶ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 120 − 99.09 = 20.91 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·20.91/3.143 × 10⁶ = 99.79 MPa

답

σ_위 = 99.79 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 38.03 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 40 MPa, R = √((−20)² + 30²) = 36.06 MPa

σ₁ = 76.06 MPa, σ₂ = 3.944 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(72.11, 76.06, 3.944)/2 = 38.03 MPa

답

τ_abs = 38.03 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σ₁ = 90.74 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·40³) = 79.58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31.83 MPa

모어 원

C = σ/2 = 39.79 MPa

R = √(39.79² + 31.83²) = 50.95 MPa

σ₁ = C + R = 90.74 MPa

σ₂ = C − R = −11.17 MPa

답

σ₁ = 90.74 MPa

11.보의 처짐

답: δ_P = 2.277 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 11000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

하중 아래의 처짐

δ_P = Pa³/(3EI) = 11000·1000³/(3·1.61 × 10¹²) = 2.277 mm

답

δ_P = 2.277 mm

12.보의 처짐

답: I_req = 2.712 × 10⁶ mm⁴

처짐 한계

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·1500⁴/(384·70000·4.167) = 2.712 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2.712 × 10⁶ mm⁴

답

I_req = 2.712 × 10⁶ mm⁴

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 4.094 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/3000² = 4094 N = 4.094 kN

답

P_cr = 4.094 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 137.1 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/6.25 = 120

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137.1 MPa

답

σ_cr = 137.1 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials