축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 95 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 115 kN구간 1: Ø30 mm, 0.5 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø16 mm, 0.5 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
길이 2 m인 속이 찬 알루미늄 축이 토크 500 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 1°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
T = 500 N·mL = 2 mG = 26 GPaφallow = 1°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 강철 축이 300 rpm에서 30 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 50 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.75°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.75°/mG = 80 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
25 kN @ 2 m45 kN @ 3 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 4 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 10 mP = 45 kN 위치 4 mw = 2 kN/m, 0부터 10 m까지x = 4 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 200 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
120 mm × 300 mm 판에 폭 80 mm, 높이 50 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 180 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 300 mm절취부: 80 × 50 mm구멍 중심: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = −10 MPa이다. 최대 주응력이 125 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?
σx = 100 MPaσy = −10 MPaσ1 = 125 MPa
τxy = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 140 MPa, σᵧ = 10 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 30° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = 140 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPaθ = -30°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.
w = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
폭 75 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/250을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 hreq을(를) 구하시오.
w = 3 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 75 mm
hreq = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 50 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 50 kNn = 2.5L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 2765 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 95·1000/490.9 = 193.5 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 193.5/70000 = 0.002765 = 2765 µε
답
ε = 2765 µε
2.축 응력과 변형률
답: δ = 1.837 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 162.7 MPa
σ2 = 572 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 162.7·500/200000 = 0.4067 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 572·500/200000 = 1.43 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.837 mm
답
δ = 1.837 mm
3.축의 비틀림
답: d = 68.83 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
필요한 극관성 모멘트
T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 500000·2000/(26000·0.01745) = 2.204 × 10⁶ mm⁴
지름
d = (32J/π)1/4 = 68.83 mm
답
d = 68.83 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
4.축의 비틀림
답: d = 55.21 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m
강도 기준 지름
T = 954.9 N·m = 954930 N·mm
dτ = ∛(16·954930/(π·50)) = 45.99 mm
강성 기준 지름
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·954930/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 55.21 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(45.99, 55.21) = 55.21 mm
답
d = 55.21 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: D (x = 3 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 39.17 kN, R2 = 30.83 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 39.17, MC = 78.33, MD = 92.5 kN·m, ME = 61.67, MF = 30.83, MG = 0
답
표시점 D: MD = 92.5 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 132 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·4 + 2·10·5
RB = 280/10 = 28 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 28 = 37 kN
x = 4 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 37·4 − 2·4·2 = 132 kN·m
답
Mx = 132 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 44.67 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 200·30 = 6000 mm², yf = 220 + 30/2 = 235 mm
웨브: Aw = 14·220 = 3080 mm², yw = 220/2 = 110 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·235 + 3080·110)/9080 = 192.6 mm
평행축 정리
플랜지: 200·30³/12 + 6000·(235 − 192.6)² = 1.124 × 10⁷ mm⁴
웨브: 14·220³/12 + 3080·(110 − 192.6)² = 3.344 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.124 × 10⁷ + 3.344 × 10⁷ = 4.467 × 10⁷ mm⁴ = 44.67 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 44.67 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 265.1 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (36000·150 − 4000·180)/(36000 − 4000) = 146.3 mm
ȳ에 대한 전체 판
120·300³/12 + 36000·3.75² = 270.5 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
80·50³/12 + 4000·33.75² = 5.39 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 265.1 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 265.1 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: τxy = 58.09 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
필요한 반지름
C = (100 + (−10))/2 = 45 MPa
R = σ1 − C = 125 − 45 = 80 MPa
전단 응력
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 55²) = 58.09 MPa
답
τxy = 58.09 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: τθ = 71.29 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −65·−0.866 + 30·0.5 = 71.29 MPa
답
τθ = 71.29 MPa
11.보의 처짐
답: δ = 14.91 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
처짐
δ = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·1.61 × 10¹²) = 14.91 mm
답
δ = 14.91 mm
12.보의 처짐
답: hreq = 208.7 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 3 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²
처짐 한계
δallow = L/250 = 4000/250 = 16 mm
필요한 단면 2차 모멘트
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4000⁴/(384·11000·16) = 5.682 × 10⁷ mm⁴
필요한 높이
bh³/12 = Ireq → h = (12·5.682 × 10⁷/75)1/3 = 208.7 mm
답
hreq = 208.7 mm
실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 11.51 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·1000 = 2000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/2000² = 11515 N = 11.51 kN
답
Pcr = 11.51 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 61.97 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·50000 = 125000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 61.97 mm
답
d = 61.97 mm
확인: 세장비 KL/r는 129.1이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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