재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 35 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 20 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 15 mm인 속이 찬 시편에 토크 30 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 200 mm의 양 끝이 서로 1.77° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 30 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 1.77°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 1800 rpm에서 30 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

45 kN @ 6 m10 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.전단력과 휨 모멘트어려움

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 B에서의 휨 모멘트 M_B을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mw = 4 kN/m, 0부터 5 m까지x = 0과 x = 4 m에 지점

M_B = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

120 mm × 300 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 40 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 90 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mm구멍 중심: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

200 mm × 240 mm 판에 폭 50 mm, 높이 50 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 72 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 200 mmh = 240 mm절취부: 50 × 50 mm구멍 중심: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 160 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = 160 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 1500 mm, 벽 두께 10 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 20°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τ_n|을(를) 구하시오.

D = 1500 mmt = 10 mmp = 1 MPaα = 20°

|τ_n| = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θ_A을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.보의 처짐어려움

폭 75 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/250을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 h_req을(를) 구하시오.

w = 2.5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 75 mm

h_req = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 135 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 135 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 6366 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 35·1000/78.54 = 445.6 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 445.6/70000 = 0.006366 = 6366 µε

답

ε = 6366 µε

2.축 응력과 변형률

답: σ_max = 63.66 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 40.74 MPa

σ₂ = 63.66 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 63.66 MPa

답

σ_max = 63.66 MPa

3.축의 비틀림

답: G = 39.08 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 1.77·π/180 = 0.03089 rad

전단 탄성 계수

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·200/(4970·0.03089) = 39078 MPa

G = 39.08 GPa

답

G = 39.08 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 9.731 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 30000/188.5 = 159.2 N·m

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·25/408885 = 9.731 MPa

답

τ_max = 9.731 MPa

5.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 6 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 62.5 kN, R₂ = 62.5 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 125, M_C = 230, M_D = 295 kN·m, M_E = 230, M_F = 125, M_G = 0

답

표시점 D: M_D = 295 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_B = −2 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·5·2.5

R_B = 50/4 = 12.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 12.5 = 7.5 kN

B에서 자르고 내민 부분을 남긴다

내민 부분의 하중 w·a는 B에서 a/2인 곳에 작용하며, 지점 위에서 보를 위로 볼록하게 휩니다(부모멘트).

M_B = −w·a²/2 = −4·1²/2 = −2 kN·m

답

M_B = −2 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 265.2 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (36000·150 − 1257·90)/(36000 − 1257) = 152.2 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·300³/12 + 36000·−2.17² = 270.2 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·40⁴/64 + 1257·−62.17² = 4.983 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 265.2 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 265.2 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 223.8 × 10⁶ mm⁴

도심

ȳ = (48000·120 − 2500·72)/(48000 − 2500) = 122.6 mm

ȳ에 대한 전체 판

200·240³/12 + 48000·−2.637² = 230.7 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

50·50³/12 + 2500·−50.64² = 6.931 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 223.8 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 223.8 × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = −65.3 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = −60/92.2 = −0.6508, sin 2θ_s = −70/92.2 = −0.7593

2θ_s = atan2(−70, −60) = −130.6°

요소에서의 각도

θ_s = −65.3°

검산: θ_s − θ_p = −65.3 − (−20.3) = −45°

답

θ_s = −65.3°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: |τ_n| = 12.05 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1·750/10 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37.5 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

|τ_n| = (75 − 37.5)·sin 20°·cos 20° = 12.05 MPa

답

|τ_n| = 12.05 MPa

11.보의 처짐

답: θ_A = 0.0248 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

끝 처짐각

θ_A = wL³/(24EI) = 4·5000³/(24·8.4 × 10¹¹) = 0.0248 rad

답

θ_A = 0.0248 rad

1.421°입니다.

12.보의 처짐

답: h_req = 196.4 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2.5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δ_allow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2.5·4000⁴/(384·11000·16) = 4.735 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = I_req → h = (12·4.735 × 10⁷/75)^1/3 = 196.4 mm

답

h_req = 196.4 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 411.2 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2000² = 411234 N = 411.2 kN

답

P_cr = 411.2 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 81.39 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·135000 = 337500 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 81.39 mm

답

d = 81.39 mm

확인: 세장비 KL/r는 103.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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