재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 12 mm황동1.5 mP = 100 kN

황동 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 100 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 40 mm황동2 mØ 12 mm강철2 mP = 120 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 120 kN구간 1: Ø40 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 2 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
T = 750 N·md = 40 mmL = 0.5 mφ = ?

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 750 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = ?50 kW, 750 rpm

속이 찬 강철 축이 750 rpm에서 50 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 1°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 750 rpmτallow = 60 MPaθallow = 1°/mG = 80 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 4 kN/mAB단면7 m1 m

지점 A에서 x = 7 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mw = 4 kN/m, 0부터 8 m까지x = 7 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
20 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

20 kN @ 0 m20 kN @ 12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
1004001810x치수 단위: mm

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 100 mm, 두께 18 mm이고, 전체 높이는 400 mm, 웨브 두께는 10 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 휨의 탄성 단면 계수 Sx을(를) 구하시오.

B = 100 mmH = 400 mmtf = 18 mmtw = 10 mm
Sx = × 10³ mm³
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
1201514014xM = 5 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 5 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.

bf = 120 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 140 mmM = 5 kN·m
σ위 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −80σy​ = 100τxy​ = −20MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −80 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σx = −80 MPaσy = 100 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −30σy​ = 20τxy​ = 10MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 60° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = −30 MPaσy = 20 MPaτxy = 10 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 12 kN/mABθ5 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θA을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 120 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.보의 처짐어려움
w = 2 kN/mABδ4.5 m

폭 100 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/250을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 hreq을(를) 구하시오.

w = 2 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 100 mm
hreq = mm
13.기둥의 좌굴보통
PL = 2 md = 60 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 110 kNL = 5 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 110 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 110 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 8842 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 100·1000/113.1 = 884.2 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 884.2/100000 = 0.008842 = 8842 µε

답

ε = 8842 µε
2.축 응력과 변형률

답: δ = 12.52 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 95.49 MPa
σ2 = 1061 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 95.49·2000/100000 = 1.91 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 1061·2000/200000 = 10.61 mm
δ = δ1 + δ2 = 12.52 mm

답

δ = 12.52 mm
3.축의 비틀림

답: φ = 1.069 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(80000·251327) = 0.01865 rad
φ = 0.01865·180/π = 1.069°

답

φ = 1.069°
4.축의 비틀림

답: d = 46.42 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m

강도 기준 지름

T = 636.6 N·m = 636620 N·mm
dτ = ∛(16·636620/(π·60)) = 37.81 mm

강성 기준 지름

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·636620/(π·80000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 46.42 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(37.81, 46.42) = 46.42 mm

답

d = 46.42 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 14 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·8·4
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16단면7 m1 m

x = 7 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 16·7 − 4·7·3.5 = 14 kN·m

답

Mx = 14 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 13.33 kN, R2 = 26.67 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −40, MC = −53.33, MD = −66.67, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0

답

표시점 E: ME = −80 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Sx = 858.1 × 10³ mm³

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.

hw = 400 − 2·18 = 364 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (100·400³ − 90·364³)/12
Ix = 1.716 × 10⁸ mm⁴

단면 계수

c = H/2 = 200 mm
Sx = I/c = 1.716 × 10⁸/200
Sx = 858096 mm³ = 858.1 × 10³ mm³

답

Sx = 858.1 × 10³ mm³
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ위 = 27 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 120·15 = 1800 mm², yf = 140 + 15/2 = 147.5 mm
웨브: Aw = 14·140 = 1960 mm², yw = 140/2 = 70 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1800·147.5 + 1960·70)/3760 = 107.1 mm

평행축 정리

플랜지: 120·15³/12 + 1800·(147.5 − 107.1)² = 2.971 × 10⁶ mm⁴
웨브: 14·140³/12 + 1960·(70 − 107.1)² = 5.899 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.971 × 10⁶ + 5.899 × 10⁶ = 8.871 × 10⁶ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 155 − 107.1 = 47.9 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·47.9/8.871 × 10⁶ = 27 MPa

답

σ위 = 27 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: θp = −83.74 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCσ1​σ2​

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θp = atan2(2·−20, −80 − 100) = −167.5°

요소에서의 각도

θp = −83.74°

답

θp = −83.74°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 16.16 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = −5 + −25·−0.5 + 10·0.866 = 16.16 MPa

답

σθ = 16.16 MPa
11.보의 처짐

답: θA = 0.00744 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

끝 처짐각

θA = wL³/(24EI) = 12·5000³/(24·8.4 × 10¹²) = 0.00744 rad

답

θA = 0.00744 rad

0.4263°입니다.

12.보의 처짐

답: hreq = 186.4 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δallow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

필요한 단면 2차 모멘트

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·18) = 5.393 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = Ireq → h = (12·5.393 × 10⁷/100)1/3 = 186.4 mm

답

hreq = 186.4 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 78.48 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·2000 = 4000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78.48 kN

답

Pcr = 78.48 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 88.31 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·110000 = 330000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 88.31 mm

답

d = 88.31 mm

확인: 세장비 KL/r는 113.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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