축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 10 kNd = 25 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 50 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 500 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
지름 50 mm인 속이 찬 황동 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 0.5 m, B에서 1.5 m 떨어진 C에 토크 1000 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 TA을(를) 구하시오.
d = 50 mmT0 = 1000 N·ma = 0.5 mb = 1.5 m
TA = N·m
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 3 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mw = 8 kN/m, 0부터 8 m까지x = 3 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 8 mw = 24 kN/m, 2부터 6 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 140 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 10 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.
bf = 160 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 240 mmM = 10 kN·m
σ위 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = −60 MPaσy = −30 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
지름 30 mm인 속이 찬 축이 축방향 인장력 110 kN와(과) 토크 1500 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
d = 30 mmF = 110 kNT = 1500 N·m
τmax = MPa
11.보의 처짐보통
길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 1.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단 B의 처짐 δB을(를) 구하시오.
P = 10 kNa = 1.5 mL = 6 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 10 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 10 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 291 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 10·1000/490.9 = 20.37 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 20.37/70000 = 0.000291 = 291 µε
답
ε = 291 µε
2.축 응력과 변형률
답: δ = 5.294 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 101.9 MPa
σ2 = 248.7 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 101.9·2000/117000 = 1.741 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 248.7·1000/70000 = 3.553 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.294 mm
답
δ = 5.294 mm
3.축의 비틀림
답: φ = 4.669 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(80000·38350) = 0.08149 rad
φ = 0.08149·180/π = 4.669°
답
φ = 4.669°
4.축의 비틀림
답: TA = 750 N·m
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.
평형과 적합 조건
TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·1.5/2 = 750 N·m
TB = 1000·0.5/2 = 250 N·m
답
TA = 750 N·m
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 60 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·8·4
RB = 256/8 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 32 = 32 kN
x = 3 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 32·3 − 8·3·1.5 = 60 kN·m
답
Mx = 60 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 144 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 24·4 = 96 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 24·4·4
RB = 384/8 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 48 = 48 kN
전단력 0
전단력은 RA에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.
RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 48/24 = 4 m
최대 모멘트
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 48·4 − 24·2²/2 = 144 kN·m
답
Mmax = 144 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 5.649 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 140·20 = 2800 mm², yf = 120 + 20/2 = 130 mm
웨브: Aw = 10·120 = 1200 mm², yw = 120/2 = 60 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·130 + 1200·60)/4000 = 109 mm
평행축 정리
플랜지: 140·20³/12 + 2800·(130 − 109)² = 1.328 × 10⁶ mm⁴
웨브: 10·120³/12 + 1200·(60 − 109)² = 4.321 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.328 × 10⁶ + 4.321 × 10⁶ = 5.649 × 10⁶ mm⁴ = 5.649 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 5.649 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ위 = 15.83 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 160·20 = 3200 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
웨브: Aw = 20·240 = 4800 mm², yw = 240/2 = 120 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3200·250 + 4800·120)/8000 = 172 mm
평행축 정리
플랜지: 160·20³/12 + 3200·(250 − 172)² = 1.958 × 10⁷ mm⁴
웨브: 20·240³/12 + 4800·(120 − 172)² = 3.602 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.958 × 10⁷ + 3.602 × 10⁷ = 5.559 × 10⁷ mm⁴
휨 응력
위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.
y = 260 − 172 = 88 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·88/5.559 × 10⁷ = 15.83 MPa
답
σ위 = 15.83 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 42.72 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((−60 − −30)/2)² + −40²) = 42.72 MPa
답
τmax = 42.72 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 293.4 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = 110000/(π·30²/4) = 110000/706.9 = 155.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282.9 MPa
모어 원
C = σ/2 = 77.81 MPa
R = √(77.81² + 282.9²) = 293.4 MPa
답
τmax = 293.4 MPa
11.보의 처짐
답: δB = 66.96 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 10000 N, a = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
자유단의 처짐
하중 위치의 처짐 더하기 하중 위치의 처짐각 × 나머지 길이.
δP = Pa³/(3EI) = 12.18 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.01218 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 66.96 mm
답
δB = 66.96 mm
12.보의 처짐
답: Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·6000⁴/(384·70000·16.67) = 2.17 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 140.4 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·1500 = 750 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/750² = 140368 N = 140.4 kN
답
Pcr = 140.4 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 36.29 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·10000 = 30000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 36.29 mm
답
d = 36.29 mm
확인: 세장비 KL/r는 154.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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