재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 400 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

2.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 95 kN구간 1: Ø35 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)

δ = mm

3.축의 비틀림보통

알루미늄 중공축(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, 길이 1.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 1000 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 1000 N·md_o = 80 mmd_i = 60 mmL = 1.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 50 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 1.2 m 떨어진 B에 토크 100 N·m이(가), 거기서 1.2 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 200 N·mAB = 1.2 mBC = 1.2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

25 kN @ 2 m55 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.전단력과 휨 모멘트어려움

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2.5 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 B에서의 휨 모멘트 M_B을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10.5 mw = 12 kN/m, 0부터 10.5 m까지x = 0과 x = 8 m에 지점

M_B = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

200 mm × 240 mm 판에 폭 40 mm, 높이 50 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 168 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 200 mmh = 240 mm절취부: 40 × 50 mm구멍 중심: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 90 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 90 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

지름 60 mm인 속이 찬 축이 축방향 인장력 130 kN와(과) 토크 1500 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ₁을(를) 구하시오.

d = 60 mmF = 130 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 I_req을(를) 구하시오.

w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: P = 45.6 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·2827) = 1.415 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.5/1.096 × 10⁻⁵ = 45604 N = 45.6 kN

답

P = 45.6 kN

2.축 응력과 변형률

답: δ = 3.487 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 98.74 MPa

σ₂ = 302.4 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 98.74·2000/100000 = 1.975 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 302.4·1000/200000 = 1.512 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3.487 mm

답

δ = 3.487 mm

3.축의 비틀림

답: φ = 1.202 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2.749 × 10⁶ mm⁴

비틀림각

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1500/(26000·2.749 × 10⁶) = 0.02099 rad

φ = 0.02099·180/π = 1.202°

답

φ = 1.202°

4.축의 비틀림

답: φ_C = 0.7003 °

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 100 = 300 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 300000·1200/(80000·613592) = 0.007334 rad

φ_BC = 200000·1200/(80000·613592) = 0.004889 rad

끝 C의 비틀림각

φ_C = 0.007334 + 0.004889 = 0.01222 rad → |φ_C| = 0.7003°

답

φ_C = 0.7003°

5.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 3 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 44.17 kN, R₂ = 35.83 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 44.17, M_C = 88.33, M_D = 107.5 kN·m, M_E = 71.67, M_F = 35.83, M_G = 0

답

표시점 D: M_D = 107.5 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_B = −37.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·10.5 = 126 kN, 작용점 x̄ = 5.25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·10.5·5.25

R_B = 661.5/8 = 82.69 kN

ΣF_y = 0: R_A = 126 − 82.69 = 43.31 kN

B에서 자르고 내민 부분을 남긴다

내민 부분의 하중 w·a는 B에서 a/2인 곳에 작용하며, 지점 위에서 보를 위로 볼록하게 휩니다(부모멘트).

M_B = −w·a²/2 = −12·2.5²/2 = −37.5 kN·m

답

M_B = −37.5 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 52.79 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

웨브: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·285 + 3360·140)/5960 = 203.3 mm

평행축 정리

플랜지: 260·10³/12 + 2600·(285 − 203.3)² = 1.74 × 10⁷ mm⁴

웨브: 12·280³/12 + 3360·(140 − 203.3)² = 3.54 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.74 × 10⁷ + 3.54 × 10⁷ = 5.279 × 10⁷ mm⁴ = 52.79 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 52.79 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 225.2 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (48000·120 − 2000·168)/(48000 − 2000) = 117.9 mm

ȳ에 대한 전체 판

200·240³/12 + 48000·2.087² = 230.6 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

40·50³/12 + 2000·50.09² = 5.434 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 225.2 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 225.2 × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 65 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((90 − 40)/2)² + −60²) = 65 MPa

답

τ_max = 65 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: σ₁ = 65.17 MPa

표면의 응력

σ = F/A = 130000/(π·60²/4) = 130000/2827 = 45.98 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35.37 MPa

모어 원

C = σ/2 = 22.99 MPa

R = √(22.99² + 35.37²) = 42.18 MPa

σ₁ = C + R = 65.17 MPa

σ₂ = C − R = −19.19 MPa

답

σ₁ = 65.17 MPa

11.보의 처짐

답: δ_max = 8.158 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

처짐

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 8.158 mm

답

δ_max = 8.158 mm

12.보의 처짐

답: I_req = 12.56 × 10⁶ mm⁴

처짐 한계

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·2500⁴/(384·70000·6.944) = 1.256 × 10⁷ mm⁴

I_req = 12.56 × 10⁶ mm⁴

답

I_req = 12.56 × 10⁶ mm⁴

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 7.402 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·6000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/6000² = 7402 N = 7.402 kN

답

P_cr = 7.402 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 12.34 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/7.5 = 400

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

답

σ_cr = 12.34 MPa

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