재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
P = ?12500 mm300 mmØ30Ø40δ = 0.4 mm

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 70 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.4 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.축 응력과 변형률어려움
30 kN12400 mm400 mmØ20Ø60σ2​ = ?

강철 구간(지름 20 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 400 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
do​ = 30, di​ = 21 mmT = 250 N·mL = 2.5 m

알루미늄 중공축(바깥지름 30 mm, 안지름 21 mm, 길이 2.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 250 N·mdo = 30 mmdi = 21 mmL = 2.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = ?5 kW, 1500 rpm

속이 찬 강철 축이 1500 rpm에서 5 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 1°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPaθallow = 1°/mG = 80 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 10 kN/mAB단면7.5 m0.5 m

지점 A에서 x = 7.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mw = 10 kN/m, 0부터 8 m까지x = 7.5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
4 kN/m50 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

50 kN @ 12 m10 kN @ 2 m4 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
1401018010x치수 단위: mm

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

bf = 140 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
120 mm150 mm90 mm40 × 20xIx​ = ?

120 mm × 150 mm 판에 폭 40 mm, 높이 20 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 90 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 150 mm절취부: 40 × 20 mm구멍 중심: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −10σy​ = −30MPaτxy​ = ?

한 점에서 σₓ = −10 MPa, σᵧ = −30 MPa이다. 최대 주응력이 45 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σx = −10 MPaσy = −30 MPaσ1 = 45 MPa
τxy = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
60°D = 800 mm, t = 5 mm, p = 1.2 MPap

안지름 800 mm, 벽 두께 5 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1.2 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 60°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τn|을(를) 구하시오.

D = 800 mmt = 5 mmp = 1.2 MPaα = 60°
|τn| = MPa
11.보의 처짐보통
w = 8 kN/mP = 13 kNABδ3 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

P = 13 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
P = 26 kNABδ4 m2 m

단순보의 지점 B에서 b = 2 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 보의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

P = 26 kNb = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
PL = 1.5 md = 20 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 20 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 2 md = 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: P = 57.58 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1257) = 3.41 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.4/6.947 × 10⁻⁶ = 57577 N = 57.58 kN

답

P = 57.58 kN
2.축 응력과 변형률

답: σ2 = 8.681 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm
k₂ = 100000·2827/400 = 706858 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 30000·706858/863938 = 24545 N

응력

σ2 = 24545/2827 = 8.681 MPa (압축)

답

σ2 = 8.681 MPa
3.축의 비틀림

답: φ = 22.79 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

비틀림각

T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 250000·2500/(26000·60428) = 0.3978 rad
φ = 0.3978·180/π = 22.79°

답

φ = 22.79°
4.축의 비틀림

답: d = 21.95 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 5000/157.1 = 31.83 N·m

강도 기준 지름

T = 31.83 N·m = 31831 N·mm
dτ = ∛(16·31831/(π·60)) = 13.93 mm

강성 기준 지름

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·31831/(π·80000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 21.95 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(13.93, 21.95) = 21.95 mm

답

d = 21.95 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 18.75 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·8·4
RB = 320/8 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 40RB​ = 40단면7.5 m0.5 m

x = 7.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 40·7.5 − 10·7.5·3.75 = 18.75 kN·m

답

Mx = 18.75 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: F (x = 10 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 18 kN, R2 = 82 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 28, MC = 20, MD = −4, ME = −44, MF = −100 kN·m, MG = 0

답

표시점 F: MF = −100 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 11.98 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 140·10 = 1400 mm², yf = 180 + 10/2 = 185 mm
웨브: Aw = 10·180 = 1800 mm², yw = 180/2 = 90 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1400·185 + 1800·90)/3200 = 131.6 mm

평행축 정리

플랜지: 140·10³/12 + 1400·(185 − 131.6)² = 4.009 × 10⁶ mm⁴
웨브: 10·180³/12 + 1800·(90 − 131.6)² = 7.969 × 10⁶ mm⁴
Ix = 4.009 × 10⁶ + 7.969 × 10⁶ = 1.198 × 10⁷ mm⁴ = 11.98 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 11.98 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 33.53 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (18000·75 − 800·90)/(18000 − 800) = 74.3 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·150³/12 + 18000·0.6977² = 33.76 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

40·20³/12 + 800·15.7² = 0.2238 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 33.53 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 33.53 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환

답: τxy = 64.23 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (−10 + (−30))/2 = −20 MPa
R = σ1 − C = 45 − (−20) = 65 MPa
στxyCσ1​σ2​

전단 응력

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 10²) = 64.23 MPa

답

τxy = 64.23 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: |τn| = 20.78 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 1.2·400/5 = 96 MPa
σa = pr/(2t) = 48 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

|τn| = (96 − 48)·sin 60°·cos 60° = 20.78 MPa

답

|τn| = 20.78 MPa
11.보의 처짐

답: δ = 17.68 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 13000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

각 하중을 따로

δP = PL³/(3EI) = 13000·3000³/(3·1.12 × 10¹³) = 10.45 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 7.232 mm

더하기

δ = 10.45 + 7.232 = 17.68 mm

답

δ = 17.68 mm
12.보의 처짐

답: δmax = 25.22 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 26000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

최댓값의 위치

더 긴 구간에서 처짐각을 0으로 두면 위치가 나옵니다.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2000²)/3) = 3266 mm

최대 처짐

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 25.22 mm

답

δmax = 25.22 mm
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 9.646 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·1500 = 750 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/750² = 9646 N = 9.646 kN

답

Pcr = 9.646 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 69.09 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/20 = 100

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

답

σcr = 69.09 MPa

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