축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 300 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.
P = 300 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 95 kN구간 1: Ø25 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø16 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
단이 진 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 75 mm, 길이 2.5 m이고, 구간 BC는 지름 50 mm, 길이 1.2 m이다. 자유단 C에 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φC을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 200 N·md1 = 75 mm, L1 = 2.5 md2 = 50 mm, L2 = 1.2 mG = 39 GPa
φC = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1450 rpm에서 5 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 5 kWN = 1450 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mw = 2 kN/m, 0부터 4 m까지x = 1 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
60 kN @ 0 m35 kN @ 12 m10 kN @ 6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
100 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 84 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
200 mm × 200 mm 판에 폭 80 mm, 높이 50 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 140 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 200 mmh = 200 mm절취부: 80 × 50 mm구멍 중심: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 40° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.
σx = −60 MPaσy = 60 MPaτxy = 40 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = −40 MPa (σz = 0). 폰 미제스 상당 응력 σvM을(를) 구하시오.
σx = −60 MPaσy = 30 MPaτxy = −40 MPa
σvM = MPa
11.보의 처짐보통
캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.
w = 20 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δmax을(를) 구하시오.
P = 13 kNw = 8 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 70 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 70 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 0.4514 mm
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·4006 = 5.317 × 10⁸ N
줄어든 길이
δ = 300000·800/5.317 × 10⁸ = 0.4514 mm
답
δ = 0.4514 mm
2.축 응력과 변형률
답: σmax = 472.5 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 193.5 MPa
σ2 = 472.5 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 472.5 MPa
답
σmax = 472.5 MPa
3.축의 비틀림
답: φC = 0.8111 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J1 = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
각 구간의 비틀림각
T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 200000·2500/(39000·3.106 × 10⁶) = 0.004127 rad
φBC = 200000·1200/(39000·613592) = 0.01003 rad
전체 비틀림각
φC = 0.004127 + 0.01003 = 0.01416 rad = 0.8111°
답
φC = 0.8111°
4.축의 비틀림
답: d = 12.8 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 5000/151.8 = 32.93 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·32929/(π·80)) = 12.8 mm
답
d = 12.8 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 3 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·4·2
RB = 16/4 = 4 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 4 = 4 kN
x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 4·1 − 2·1·0.5 = 3 kN·m
답
Mx = 3 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: E (x = 8 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 60 kN, R2 = 45 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = −120, MC = −120, MD = −120, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0
답
표시점 E: ME = −140 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 112.1 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (24000·120 − 1963·84)/(24000 − 1963) = 123.2 mm
ȳ에 대한 전체 판
100·240³/12 + 24000·−3.208² = 115.4 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·50⁴/64 + 1963·−39.21² = 3.325 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 112.1 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 112.1 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 125.4 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (40000·100 − 4000·140)/(40000 − 4000) = 95.56 mm
ȳ에 대한 전체 판
200·200³/12 + 40000·4.444² = 134.1 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
80·50³/12 + 4000·44.44² = 8.735 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 125.4 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 125.4 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: σy′ = −28.97 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
y′ 면의 변환 공식
σy′ = 0 − (−60)·0.1736 − 40·0.9848 = −28.97 MPa
검산
수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.
σx′ = 28.97 MPa, σx′ + σy′ = 0 = σx + σy
답
σy′ = −28.97 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σvM = 105.4 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = −15 MPa, R = 60.21 MPa
σ1 = 45.21 MPa, σ2 = −75.21 MPa, σ3 = 0
폰 미제스
σvM = √(45.21² − 45.21·(−75.21) + (−75.21)²) = 105.4 MPa
답
σvM = 105.4 MPa
11.보의 처짐
답: δ = 15.07 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 20 N/mm, L = 1500 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
처짐
δ = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·8.4 × 10¹¹) = 15.07 mm
답
δ = 15.07 mm
12.보의 처짐
답: δmax = 13.74 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 13000 N, w = 8 N/mm, L = 5000 mm, EI = 7.2 × 10¹² N·mm²
각 하중을 따로
δP = PL³/(48EI) = 13000·5000³/(48·7.2 × 10¹²) = 4.702 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 9.042 mm
더하기
δmax = 4.702 + 9.042 = 13.74 mm
답
δmax = 13.74 mm
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 52.99 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52.99 kN
답
Pcr = 52.99 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 65.32 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2·70000 = 140000 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 65.32 mm
답
d = 65.32 mm
확인: 세장비 KL/r는 128.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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